子群的Hall嵌入性及群系剩余与有限群结构的研究

It is not only the most principal way to study the structure of finite groups by its subgroups,but also an everlasting topic in the research of the finite groups. The content of this project includes two aspects: . The first aspect is to study the relationship between the Hall embedded properties of subgroups and the structure of finite groups. We introduce the Hall embedded properties of subgroups by combining the embedded properties of subgroups with the quantitative property. New descriptions about a finite group to be solvable, supersolvable, p-nilpotent and belonging some important classes and saturated formation can be given by the Hall embedded properties of subgroups.. The second aspect is to study the relationship between the formation residual and the structure of finite groups.We give the formation residual of finite groups by finding some embedded properties of subgroups; Conversely, we will give some new methods to characterize the structure and properties of finite groups by the properties of the formation residual of finite groups.

利用子群来研究群的结构是研究群的最基本的途径，也是群论研究的永久课题。本项目研究内容共分为两个方面：.第一，研究子群的Hall嵌入性与群结构之间的联系。子群在大群中的状况或满足的关系和条件简称为子群的嵌入性。通过把子群的嵌入性与群的数量性质相结合，我们提出了子群的Hall嵌入性。本项目将借助子群的Hall嵌入性给出新的判定群可解、超可解、p-幂零等重要群类及属于某些饱和群系的新的刻画。.第二，研究群系剩余与群结构之间的联系。找到子群的一些嵌入性质，给出群对群系的剩余；反过来，通过群系剩余的性质给出刻画群的结构与性质的新方法。

在本项目中，在Hall共轭嵌入子群概念的基础上，进一步深入研究了Hall共轭嵌入子群对有限群结构的影响，得到了许多结果。我们还研究了群系剩余对群结构的影响，通过群系剩余与某些正规子群的同阶子群的交所具备的性质得到了有限群结构的一些刻画。下面简要介绍下我们的工作：.1、子群Hall嵌入性方面的工作 . 引进了PHCE-群与极小非PHCE-群的概念 . (1)讨论了群G为极小非PHCE-群时群的结构 (2)讨论了G的2-极大子群为PHCE-群时群的结构 .2、群系剩余方面的工作.2015年,本人与Isaccs通过将有限群的子群与群的p-群剩余结合起来，在一定条件下，得到了群为幂零群或超可解群的一些判定结果。在本项目中，我们通过有限群G的某些子群与群系剩余的交的广义正规性来研究群的结构，借助于弱s半置换子群的概念，我们主要得到了如下的结果： .主要定理：设G是有限群，ζ是包含超可解群系U的饱和群系，E是G的正规子群,满足G/E∈ζ. 设K是G的正规子群，P是K的Sylow p子群，d是p的方幂且1<d<|P|,如果对P的所有d阶子群H和4阶循环子群H(当P是非交换2-群时)都有H⋂E为G的弱s半置换子群，则有K≦Zpζ(G).. 另外，在利用子群与某些子群的交来讨论群的结构方面，我们还定义了子群的一类IC-性质，并利用群G的Sylow子群的同阶子群具备IC性质，得到了群G为p-幂零群的判定方法。