旋转对称弹性函数的构造及其安全性能研究

Rotation symmetric Boolean functions(RSBFs) are invariant under circular translation of indices, this property is widely used by many hash algorithms such as MD4、MD5 and HAVEL, which is needed to be implemented in high efficiency. Rotation symmetric Boolean functions can possess the balancedness, correlation immunity, algebraic immunity, and high nonlinearity simultaneously, and this class of functions received more and more attentions. In this project, we will focus on the RSBFs, and will study four aspects on the RSBFs, i.e. construction and count of resilient rotation symmetric functions(including rotation symmetric functions with high order resiliency). Based on these results, algebraic immunity, diffusion, the nonlinearity of the resilient rotation symmetric functions are also studied, and the relations among these properties are also investigated. At last, the applications of this class of functions in coding theory and cryptography, the relations between rotation symmetric functions and cyclic codes are both considered, these results will lead to a new theory and implementation on the critical components of the cryptographic systems.

旋转对称布尔函数是一类在输入变量周期性的旋转变化时函数值保持不变的函数，该性质由于很好地迎合了MD4、MD5和HAVEL等Hash算法需要高效执行的客观要求，被这些算法广泛使用。旋转对称布尔函数是可以同时具有平衡性、相关免疫性、代数免疫性、高非线性度等多个密码学性质的函数类，近年来受到了越来越多的关注。本项目将以旋转对称函数类为研究对象，主要研究旋转对称弹性函数的构造与计数问题（包括旋转对称高阶弹性函数），在此基础上研究旋转对称弹性函数的代数免疫性、扩散性、非线性度等密码学性质，以及这些性质之间的一致性与制约性关系。进而研究这类函数在编码密码学中的应用，以及旋转对称函数的性质与循环码的性质间的对应关系，为密码体制中安全组件的选取提供参考依据和实现途径。

由于旋转对称函数可以同时具有平衡性，相关免疫性，最优代数免疫性以及较高的代数次数和非线性度，本项目主要围绕旋转对称弹性函数的构造与计数问题展开研究，此外还对与弹性函数有紧密关系的正交表、正交表大集以及旋转对称函数的代数免疫性等密码学指标开展了一些初步的研究工作，重点完成的研究主要包括如下的几个方面：.1. 在特征为奇素数p的有限域上，分别研究了p元和q元旋转对称1-弹性函数的构造与计数问题，给出了GF(p)上p元和q元旋转对称1-弹性函数的有效构造方法，并且得到了所构造函数的计数结果。构造过程表明：q元1-弹性函数的构造明显比p元1-弹性函数的构造难度大。.2. 对于一个Hadamard矩阵，去掉全1列后的矩阵可以看成一个饱和的2水平强度2的正交表，受到正交表矩阵像性质的启发，利用已有的Hadamard矩阵，基于投影矩阵正交分解方法给出了一类在量子信息处理中有广泛用途的量子布尔函数（quantum Boolean function）的构造，并且给出了所构造的这类量子布尔函数的计数结果。.3. 在特征为2的有限域上，当输入变元个数为2的方幂时，研究了多输出旋转对称平衡函数和弹性函数存在的条件，给出了输出变元个数的取值范围，并且根据输出变量的不同维数，给出了8元多输出平衡函数的计数结果。.4. 在特征为2的有限域上，对多输出旋转对称平衡函数和1-弹性函数的存在性问题进行了研究，构造性的证明了几类多输出平衡函数和1-弹性函数的存在性，初步研究了旋转对称S盒的密码学性质，以及弹性函数的支撑集与正交表大集的关系。. 项目整体研究达到国际水平和国内领先水平，在项目基金资助下，在国内外重要学术期刊上发表标注基金资助项目号的高水平论文15篇，其中《Science China Information Science》、《Security and Communication Networks》等SCI期刊论文10篇，《通信学报》和《电子与信息学报》等EI期刊论文3篇，《密码学报》与《河南师范大学学报》等核心期刊2篇，项目培养硕士研究生一名，并获得了研究生国家奖学金；此外，我还协助庞善起教授培养了5名硕士研究生，其中有2人考取国内重点大学，攻读密码学方向的博士研究生。项目执行期间，邀请了国内多名同行来校交流讲学，促进了学术交流。