非线性色散型方程适定性的研究

For wave maps on the admissible manifolds, global well-posedness and scattering have been obtained, under the radial symmetric assumption. Based on this, using the method of multipliers、Kato's method, etc., we will further study in the general case, global well-posedness and scattering with small Cauchy data and finite time blow-up with large Cauchy data; the relationship between the geometric structures of admissible/target manifolds and global well-posedness will also be discussed. We will consider the Strauss conjecture for semi-linear wave equations on admissible manifolds; we shall discuss the relationship of the critical power in the Strauss conjecture and of the manifolds' geometric structure. We want to know whether the Strauss conjecture holds or not in this case. We will also study the Glassey conjecture for the semi-linear wave equations on admissible manifolds; we shall discuss that how the critical power depends on the manifolds' geometric structure and try to know whether the Glassey conjecture holds or not in this case. Moreover, we will use the normal form method to study the long time existence problem for the semi-linear Klein-Gordon equations on the circle.

对于容许流形上的波映照，我们已经得到了径向对称条件下，给以小初值时它的整体存在性及散射性质。在此基础上，我们将乘子法、Kato方法等进一步研究一般情况下小初值波映照的整体适定性问题和散射性质以及大初值波映照的有限时间爆破问题；探讨容许流形和目标流形的几何结构与波映照整体适定性之间的关系。我们还将研究容许流形上的半线性波动方程的 Strauss 猜想，探讨 Strauss 猜想中的临界指标与流形的几何结构之间的关系，弄清楚 Strauss 猜想在这种情况下是否成立。对于容许流形上的半线性波动方程，我们还将研究 Glassey 猜想，探讨容许流形几何结构对 Glassey 猜想中临界指标的影响，并搞明白 Glassey 猜想在这种情况下是否成立。我们还将用法形式方法研究一维球面上半线性Klein-Gordon方程的长时间存在性。

本项目主要研究流形上的Klein-Gordon方程和波动方程等。对于一维球面上的半线性Klein-Gordon方程，我们得到了关于非线性项的一个结构性条件，使得关于该类非线性项，对于几乎所有的正质量，小初值解都是几乎整体存在的。对于带权的半线性波动方程，我们解释了如何从带权的Strichartz估计得到小初值解的长时间存在形。对于有限时间爆破的情况，我们还得到了解的生命区间的估计。我们还研究了与调和振子相关的非线性薛定谔方程。