对称分类、整体群表示和不变参数化格式研究

Group analysis of nonlinear partial differential equations is an important issue in the fields of mathematical physics and integrable system. In this project, we will explore Lie symmetry group classification, global group representation of local symmetry and symmetry preserving parameterization schemes for nonlinear partial differential equations which contain several independent variables and arbitrary elements. The main contents consist of: ① we will first present some new allowed, conditional and additional equivalence groups by extending the continuous equivalence group theory, then study their algebraic structures and algorithmic methods for computing such groups; ② secondly, with the aid of the new extended equivalence group, we will propose some new compatible method for Lie symmetry classification of differential equations by extending direct integration， Lie algebra and subgroup analysis methods; ③ thirdly, we will study the global group representation of local symmetry of nonlinear partial equations by introducing the abstract Lie group representation theory; ④ fourthly, symmetry preserving parameterization schemes is investigated based on techniques of direct group classification; ⑤finally, we will apply these new theories and methods to some typical nonlinear partial equations in mathematical physics and construct their invariant solutions. The complete group classification of differential equation is a difficult problem in the field of group analysis, and furthermore Lie group representation theory and techniques of direct group classification are rarely used to the investigation of Lie symmetry and parameterization schemes of differential equations respectively. Therefore，this project is significant in revealing the relation between local symmetries and global representation theory for nonlinear partial equation with several arbitrary elements and several independents and is also important for designing symmetry preserving discrete numerical algorithms.

非线性偏微分方程的群理论分析是数学物理和可积系统领域的重要课题。本项目拟研究含有多任意元多自变量的非线性偏微分方程的李点对称群分类、局部对称的整体群表示以及对称保持的参数化格式。具体包括：①通过扩展连续性等价群理论，定义新的扩展等价群，研究其代数结构和计算方法；②基于上述等价群，发展直接积分法和李代数与子群分析法，研究方程李点对称分类的新相容性方法；③利用抽象李群表示理论，研究非线性偏微分方程局部李点对称的整体群表示；④研究基于直接群分类的对称保持的参数化格式的构造；⑤应用这些理论和方法于数学物理中典型的非线性偏微分方程的研究以及不变解构造。由于完全分类是群分析领域的难题，而李群表示论和直接群分类思想却很少用于微分方程李对称和参数化格式的研究，因此本项课题对揭示含有多任意元多自变量的非线性偏微分方程的局部对称结构与整体表示理论之间的关系，探索方程对称保持的离散数值解法具有一定的科学意义。

对称性是自然界中普遍存在的一种性质，在数学物理、金融、甚至计算机视觉领域都有广泛的应用。本项目我们主要研究了含有多任意元多自变量的非线性偏微分方程的李点对称群分类、局部对称的整体群表示以及对称保持的参数化格式，并应用对称性思想于计算金融和深度学习图像生成模型研究。取得的主要结果包括：（1）针对含有较多任意元并且结构复杂的一般参数非线性偏微分方程的局部对称群分类，发展了新的等价性变换理论和相容性方法来解决这类方程的分类问题，并提出了一般的算法化分析框架。利用上述提出的新方法系统研究了具有重要物理背景的广义Zakharov–Kuznetsov方程、带幂的非线性波动方程和广义的非线性梁方程的局部对称分类，系统构造了这些方程的等价性变换，以及基于最优的1至3维子代数系统的约化不变解。（2）首次把等价性变换理论和奇性约化算子理论扩展到一类带幂非线性项波动方程的约化算子（非古典对称）分类。我们在广义扩展等价群的意义下给出正则化约化算子的完全分类。利用约化的算子，我们还构造了一类分类模型的精确不变解。（3）在局部对称的整体群表示和对称保持的参数化格式研究方面，我们分别构造了一类波动方程的局部对称的缠结算子和一类水波方程的参数化格式。（4） 受本项目等价性变换思想的启发，我们把对称不变性思想用于计算金融的研究，提出了一类鲁棒的中位数反转策略用于消除价格序列数据的噪声与离群值和一类组合预测策略用于消除价格序列数据的非稳态特征。（5）最后，我们利用对称不变性思想研究了利用神经网络生成图像，训练了一个能够基于笔画绘画MNIST数字和Omniglot文字的智能代理——StrokeNet，该模型对数字的旋转等不变性具有很好的鲁棒性。本项课题研究为处理多任意元多自变量的非线性偏微分方程的局部对称结构提供了新的方法，同时为计算金融和深度学习图像生成模型研究提供了新的指导思想，具有重要的理论和实际意义。