含有流形结构的数据的多尺度分析

随着科技的发展，各种含有几何结构信息的新型数据不断出现。这些数据一般可以看成是某个流形上的点。用传统的小波变换来处理这些数据将会破坏它们含有的几何结构。如何有效的分析处理这些新型数据，同时又兼顾到它们含有的几何结构特征，已经成为信息科学领域的一个重要课题。2005年，Donoho等人首次提出一种针对含有流形或李群结构的数据的多尺度分析方法。随后，Wallner & Dyn、Xie & Yu与Grohs也相继提出各种不同的算法。但所有这些算法都存在各自不同的缺陷，在功能上无法与小波变换相比。同时，这种流形上的多尺度分析方法的理论也还很不完善。. 本项目旨在发展与完善流形上的多尺度分析方法的理论，为分析这些非线性的算法提供工具；另外，我们还将在已有算法的基础上寻找更好的针对含有流形结构的数据的多尺度分析方法。

我们证明了用于判定流形上的细分算法的光滑度的临近条件是几何内蕴的。我们还研究了一类类似于欧氏空间中的小波变换的流形上的细分算法，我们发现这类细分算法的光滑度与该类算法在构造过程中所用收缩映射的性质有关，我们还发现流形上具有时间对称性的细分算法比非对称的细分算法更光滑。我们还提出了一个新的临近条件，它在绝大多数情况下与老的临近条件等价，但比老的临近条件更容易检验，且它不仅是判断光滑度的充分条件，还是必要条件。我们还证明了，新的临近条件在一个比之前的证明中更弱的条件下也是几何内蕴的。