具有无界观测和控制算子的控制系统若干问题研究

In this project, we study some problems of the control system with unbounded observation and the control operators, including the observability and controllability of the system, the stabilization of the system and the design of the anti-disturbance and anti-delay feedback control. Such a kind of system includes the boundary observation and boundary control, which is usually described by partial differential equations. For the distributed parameter control system, one of basic contents of the system analysis is to study the internal properties of the system such as controllability and observability. The existing literature is mainly aimed at the specific model of system controllability, observability and controllability. In this project, from point of view of classification system we study the necessary conditions of the systems with exact controllability, approximate controllability, null controllability, and further study the properties of the control operators..For the feedback control design of the system, its aim is to change the dynamic behavior of the system by feedback so that the system has a certain degree of anti-disturbances and anti-delay. In the case that the observation and control operators are bounded linear operators, system stabilization design have able to achieve the requirements of this design, However, if the control and observation are unbounded linear operators, the stabilization problem of system has great changes, existing stabilization results only guarantee the internal stability of the closed-loop system, does not have the anti-interference, some results become calm very vague, even a counterexample. the purpose of this project is to solve these problems for the control system with unbounded observation and control operators by restudying and reviewing the existing research results, and give the corrective conclusions.

本项目研究具有无界观测与控制算子的控制系统的若干问题, 包括可观性与可控性判定, 系统的镇定与抗干扰与抗时滞反馈控制设计. 对于分布参数控制系统, 可控性与可观性是系统分析的基本内容. 现有文献主要是针对具体模型研究可控性,可观性, 本项则从另外一个角度研究系统的可控性. 即从系统分类角度, 如果系统具有精确可控,近似可控，零精确可控性, 研究相应系统满足的必要条件, 进一步研究控制算子应有的性质. 通过反馈改变系统的动态行为使之系统具有一定的抗干扰, 抗小时滞性质是系统控制设计的基本要求. 在控制和观测是有界线性算子的情形, 系统镇定设计已能达到设计要求,但在控制与观测都是无界线性算子的情形,系统的镇定问题发生变化, 只保证闭环系统内部稳定性, 并不具有并不具有抗干扰性, 有些镇定结果变得相当模糊,甚至有反例. 本项目就是针对这些问题进行研究, 重新审视已有的研究结果，给出正确结论.

本项目研究了具有无界观测与控制算子的控制系统的若干问题, 包括可观性与可控性判定, 系统的镇定与抗干扰与时滞反馈控制设计. 对分布参数控制系统, 可控性与可观性是系统分析的基本内容. 这里研究目标: 精桷可控(可观)系统的必要条件, 即系统(A, B)在有限时间精确可控, 系统的算子A 或半群T(t)需要满足的条件是什么?这里总假定控制空间相对状态空间具有较少的维数, 算子B的值域相对状态空间而言也具有较低的维数. 记控制映射$\Phi^t_0(u)$. 本研究考虑了一类无界算子(控制算子)这类算子称为 I-型控制算子, 其特征是值的交集R(T(t))\cap R(\Phi^t_0)是闭集. 这类算子相对于主算子高于或等于1/2阶, 即可容许控制算子最高的阶数. 如果对I-型控制算子系统是精确可控的,则系统对应的半群一定具有闭的值域, $\Phi^t_0$的值域也是闭的; 如果算子A有离散谱, 则离散谱一定分布在平行虚轴的带域. 如果A的根向量还是完整的, T(t)一定是C_0群. 这里是对一般Banach空间上的控制系统进行讨论, 所获结果可作为是系统是否具有精确可控性的判定. 比如,状态含有时滞系统一般不精确可控，这样的系统只应讨论局部精确可控. 对含有记忆(或时滞)的系统,没有精确可控性,没有经典意义下的零可控性, 此时反馈镇定成为主要研究问题. 本项研究中我们主要考虑了两个问题, 反馈控制设计和控制含有时滞的控制器设计. 当控制和观测算子是无界算子时, 反馈闭环系统是否保持原系统的某些性质,对反馈算子的选择将有所限制, 本项研究解决了可容许状态反馈问题. 在时滞控制器设计方面，前一基金给出部分状态预估方法解决了控制设计问题，但闭环系统的稳定性分析存在极大困难. 本项主要给出新的控制器设计方法, 在控制器设计中保证闭环环系统的稳定性. 简单讲,将反馈控制写成全状态反馈控制形式(积分形式)通过选择合适的积分核函数使得闭环系统稳定, 这里关键点是选择积分核. 控制预估器就是将一个无时滞系统的反馈镇定的核函数作为某个方程的初值进行求解,得到的函数作为积分核函数. 所得的控制器一定镇定系统. 本项研究对抛物型、双曲型、高维、PDE-PDE耦合系统给出实际设计与证明, 结果显示这样的这样的方法适用于各种系统.