非线性发展方程的切对称和拟局部对称

非线性偏微分方程的拟局部对称构造是偏微分方程对称群分析领域研究的热点和难点之一。本项目主要研究非线性发展方程的切对称和拟局部对称，提出基于切对称构造拟局部对称的新方法。首先，研究单个非线性发展方程的切对称分类，探讨能变换为拟局部对称的切对称应满足的条件，并基于切对称分类构造方程容许的拟局部对称。其次，非线性发展方程组容许的切对称退化为李对称，研究一般形式的非线性发展方程组的李对称分类，明确方程组的李对称与拟局部对称间的关系，并由李对称分类结果构造方程组的拟局部对称。最后，研究分类结果中一些重要模型的可积性和精确解，阐明解的性质。.本项目研究的问题在物理、几何和生物等领域都有重要应用，研究成果将在一定程度上丰富方程的对称群理论，对解释某些物理现象提供重要参考，为今后相关领域的研究奠定基础。

本项目主要研究了非线性偏微分方程的李对称和切对称群分类问题，基本按原计划执行，目前已经完成，主要得到如下成果：.1．完善和补充了偏微分方程对称群理论，探讨了线性发展方程的李对称群分类方法，并将其应用于四阶线性发展方程，得到完整的李对称群分类结果；研究了KdV型非线性发展方程的Galilei对称群分类；讨论了带源的非线性扩散方程的条件Lie-Backlund对称和扰动扩散方程初值问题的近似对称约化，并对这些分类结果中的一些重要模型用对称约化方法和不变子空间方法构造了精确解。. 2. 建立了非线性发展方程的一种新的代数化的切对称群分类方法，并将该方法用于最一般形式的二阶发展方程，得到了所有不等价的容许半单代数、有非平凡 Levi 因子的代数和直到四维的可解李代数的二阶非线性发展方程，同时还考虑了切对称群的表示问题，尽可能的将切对称用等价的李对称表示。.3．研究了分数阶偏微分方程的李对称群分析，探讨对称群方法对分数阶方程，尤其是时间分数阶方程，如时间分数阶Harry-Dym方程，的研究的有效性；给出了向量场张成的Virasoro代数的新的构造方法。. 上述成果主要以7篇SCI论文的形式发表。. 项目组成员共参加了9次相关学术会议，已招收4名研究生从事可积系统学习和研究工作。