偏概率度量空间的模糊集方法

Partial metric and probabilistic metric are two kinds of generalization of classical metric based on different application background, and play important role in mathematical theory and application. The aim of this project is to give the definition of partially probabilistic metric based on probabilistic metric, partial metric and order, and use the idea of fuzzy sets and many-valued logic to study many-valued theory of partially probabilistic metric spaces. Firstly, we will give the concept of partially probabilistic metric, and study the relationship between partially probabilistic metric and probabilistic metric as well as the relationship between partially probabilistic metric and partial metric. As we know many-valued topology is the key tool to study topologization of probabilistic metric spaces. Secondly, partially probabilistic metric will be endowed with many-valued topological stuctures and the topologization of partially probabilistic metric spaces. In this part, we will also establish the convergence degree theory, completeness degree theory and their applications in partially probabilistic metric spaces and fuzzifying uniform spaces. Finally, we will study partially probabilistic metric spaces in the framework of enriched categoies when there is order-stucture on the universal set.

偏度量和概率度量是基于各自应用背景对经典度量的两种不同推广，在理论和实际中都有着重要的应用。 本项目的目的是将把概率度量、偏度量和序理论相结合，引入更宽泛的偏概率度量，借助模糊集和多值逻辑的思想建立多值的偏概率度量空间理论。 首先合理地给出偏概率度量空间的定义，讨论概率度量，偏度量和偏概率度量的关系。我们知道多值拓扑才是研究概率度量空间拓扑化的工具，然后，在偏概率度量空间中给出导出多值拓扑结构的方式，研究偏概率度量的多值拓扑化问题，并建立偏概率度量空间和模糊化一致空间中用程度定义的多值收敛度理论、完备度理论及其应用。最后，在带有序结构的论域上，将序和偏概率度量结合从enriched范畴的角度来研究偏概率度量空间。

偏度量、模糊度量和概率度量是经典度量的推广，都是重要的研究对象。考虑到模糊度量与概率度量在具体问题讨论上有着相近的思想，实际上KM型模糊度量就与概率度量是等价的，因此本项目不刻意区分模糊度量和概率度量。作为偏度量和概率度量的推广，本项目基于左连续的三角模和M-值集理论引入和研究了更宽泛的偏概率度量空间。在度量方面，研究了偏概率度量空间的完备性，给出了偏概率度量空间中的三种不动点定理；在三角模是取小时，给出了广义概率分布函数全体上张量和蕴含的点式刻画，得到了伪偏概率度量的伪偏度量链刻画，并从偏概率度量导出了模糊化拓扑；基于概率度量和偏概率度量的密切联系，从程度的角度讨论了概率度量空间的序列收敛度理论，用完全有界度和完备度给出紧度的刻画。在一致结构方面，用分明滤子收敛度研究了模糊化一致结构的完全有界度、完备度和紧度，证明了概率度量空间的完备度等于其导出的模糊化一致空间的完备度；基于I-滤子建立了I-一致空间和概率度量的收敛和完备度理论，证明了概率度量空间的完备度等于其导出的I-一致空间的完备度。在完全分配格中，利用格值滤子研究了格值一致空间的紧度，在完备的Heyting代数中，利用模糊集的内在包含关系研究了满层的L拟一致结构和满层拟一致极限空间，证明了满层的L拟一致空间范畴是满层拟一致极限空间的反射满子范畴，并在概率度量空间中给出了示例。在与Q-范畴（Quantaloid enriched 范畴）的结合方面，由于偏概率度量空间就是满足一定条件的Q-范畴，利用Q-范畴理论研究了偏概率度量空间中的形式球，证明了由形式球组成的偏序集是dcpo当且仅当偏概率度量空间是层完备的；基于Q-范畴，在带有等式的集上研究了满层的格值滤子及其应用；建立了Q-型集上的收敛空间理论理论。