椭圆方程源项辨识问题的正则化理论及数值算法

This project mainly studies regularization theory and numerical algorithms of source identification problems for elliptic equations. According to mathematical models as Poisson equation and Helmholtz equation, this projection studies source identification problems in homogeneous and inhomogeneous media respectively. Both problems have widely application in the fields of biomedicine, geophysics, materials science, and so on. The goal of this project is to detect the number、the location、the size、the strength and the shape of subregions within a body from boundary measurements. Source identification problems for elliptic equations are nonlinear and severely ill-posed in the sense that small perturbations in the measured data can result in dramatically large errors in the reconstruction result, thus regularization method must be applied in the process for solving problems. In terms of uniqueness and stability of problems, we can obtain the corresponding error estimates along with regularization method and regularization parameter, and then we provide some fast and efficient numerical algorithms based on the domain derivative. These algorithms exhibit quite good stability against error data, need little priori information, have quick convergence, and show flexibility to deal with subregions of special shapes. We hope that the research of this project can provide a scientific basis of decision making for preoperative diagnosis、assessment and recuperation.

本项目主要研究椭圆方程源项辨识问题的正则化理论及数值算法。以Poisson方程和Helmholtz方程作为数学模型，分别研究了在均匀介质和非均匀介质中的源项辨识问题。这两类问题在生物医学、地球物理学和材料科学等领域有着广泛的应用价值。本项目的目标是根据边界上测量数据反演物体内部子区域个数、位置、大小、强度和形状。椭圆方程源项辨识问题是非线性的且严重不适定的，即当测量数据有很微小的扰动时重构的结果就会发生巨大的偏差，因此在求解问题的过程中要采用正则化方法。根据问题的唯一性和稳定性，结合正则化方法和正则化参数，得到相应的误差估计，进而基于区域导数，提出一些即快捷又高效的数值算法。这些数值算法对误差数据有很好的稳定性，需要很少的先验信息，收敛的速度快，以及处理特殊形状的子区域有很大的灵活性。希望本项目研究为临床上的术前诊断、评估和术后恢复提供科学的决策依据。

本项目研究的问题是椭圆方程源项辨识问题，是反问题研究的热点问题。本项目涉及到自然科学、社会科学和工程技术等众多领域，研究的背景来源于如何确定癫痫病发病的位置、大小和形状。本项目研究了Poisson方程和Helmholtz方程的源项辨识问题的正则化理论和数值算法，根据可接触边界的测量数据重构目标的位置、大小和形状。本项目研究的主要内容包括正问题和反问题、适定问题和不适定问题、正则化方法和正则化参数的选取方法、问题的唯一性和稳定性、迭代算法和非迭代算法、算法的收敛性等。重要结果是：(1)对薛定谔方程中的参数辨识问题进行了一定的研究，并提出了重构参数的数值算法；(2)对Poisson方程的源项辨识问题和边界辨识问题进行了研究，提出了重构位置和形状的数值算法；(3)对Helmholtz方程的源项辨识问题和参数辨识问题进行了相应的研究，并提出了可行的数值算法重构源项和参数的位置和形状；(4)对修正的Helmholtz方程的边界辨识问题进行了研究，并提出了相应的算法重构边界的形状。本项目的数值算法采用的是迭代算法，比如：改进的阻尼最小二乘算法、信赖域方法和Levenberg-Marquardt算法等。本项目的科学意义在于准确的确定了癫痫病发病的位置和形状就可以为癫痫病外科手术提供一定的术前预判。