关于 Abel 簇和广义 Kummer 簇的 Chow 群的研究

The theory of algebraic cycles is most important in algebraic geometry, which contains the Hodge conjecture, one of the seven problems for the Clay Millinnium Prize. This program focuses on several questions in the theory of algebraic cycles, namely, the structure and properties of the Chow groups of abelian varieties and generalized Kummer varieties.. (1) The Bloch-Beilinson-Murre conjecture for the codimension-2 Chow groups of abelian varieties is concerned;. (2) It will be made clear whether the Chow groups of generalized Kummer varieties are split.. (3) It will determined whether the algebraic cohomology rings of generalized Kummer varieties admit canonical Chow-liftings.

代数闭链理论是代数几何中的最重要的领域之一，其中包括 Hodge 猜想，它是千禧年七大问题之一。本项目主要研究代数闭链理论中的几个问题,，即：关于 Abel 簇和广义 Kummer 簇的 Chow 群的结构和性质问题。. (1) 研究关于任意 Abel 簇上余-2-维 Chow 群的 Bloch-Beilinson-Murre 猜想；. (2) 研究广义 Kummer 簇的 Chow 群的分裂性；. (3) 研究广义 Kummer 簇的代数上同调环的典范 Chow-提升性。

本项目的研究课题是代数几何学中代数闭链理论的若干前沿问题。主要研究内容是关于Abel簇和广义Kummer簇的Chow群的结构和性质问题。在本项目的资助之下，我们主要完成了以下工作：.1. 证明了任意广义Kummer复簇的Chow动机可以由其承载Abel曲面的Chow动机清晰刻画，从而证明了Hodge猜想对于广义Kummer簇的任意乘积成立并且证明了其上关于代数1-闭链的Voevodsky的Smash幂零猜想。此工作揭示了广义Kummer簇与Abel曲面之间在Chow动机层面上的深刻联系，并对于这类代数簇验证了Hodge猜想。.2. 证明了如果任意Abel复簇上的一个自同态在所有处处非退化的微分形式上的作用平凡，则它在代数0-闭链的Chow群上的作用也平凡。这是关于Abel簇的Bloch-Beilinson猜想的一个推论。