正则多部竞赛图中圈的研究

The multipartite tournament is a natural extension of tournament and has wide application in reality, so it is always a research hotspot in digraph theory. Due to the good structure and property, the regular multipartite tournament plays an important role in the research on multipartite tournaments. The study of regular multipartite tournaments often offers helpful insights for the study of general multipartite tournaments. The cycles in regular multipartite tournaments attract the most attention. In this item, we will research the cycles in regular multipartite tournaments from the following three aspects: 1. the cycles through a given vertex that contain just one vertex from each partite set, 2. the cycles through the same number of vertices from each partite set, 3. the cycles in which at least two partite sets have different numbers of vertices. We will prove two conjectures posed by Volkmann in 2006 and 2008 respectively. Our work will greatly promote the development of the related field and have an important theoretical and practical significance.

多部竞赛图是竞赛图的自然推广，在现实生活中有着广泛的应用，所以一直是有向图的一个研究热点。正则多部竞赛图由于其良好的结构与性质，在多部竞赛图的研究中具有特殊的地位，有关它的研究结果对于一般多部竞赛图的研究通常有很大的启发。正则多部竞赛图的圈是正则多部竞赛图中最受关注的一个研究主题。本项目将从以下三个方面对正则多部竞赛图中的圈进行研究：1. 正则多部竞赛图中经过给定顶点的包含每个部集中仅一个顶点的圈，2. 正则多部竞赛图中经过每个部集中顶点数相同的圈，3. 正则多部竞赛图中经过每个部集中顶点数不同的圈。并证明Volkmann分别在2006年和2008年提出的两个猜想。本项目的工作将极大地促进所研究领域的发展，有重要的理论和实际意义。

多部竞赛图在现实生活中有着广泛的应用，一直是有向图的一个研究热点。多部竞赛图中的圈非常好地刻画了多部竞赛图的结构，有着重要的理论和实际意义，是关于多部竞赛图的一个非常重要的研究方向。本项目中我们主要研究多部竞赛图的圈。竞赛图是最重要的一类多部竞赛图，在2000年，Yao等人 证明了强连通竞赛图中至少含有一个外弧泛圈点，并且给出无数多个其中恰含有一个外弧泛圈点的强连通竞赛图的例子。本项目中我们完全刻画了恰含有一个外弧泛圈点的强连通竞赛图的结构，显然这是对已有结果的一个重要推进。另外我们还研究了反映圈结构的万能弧问题。在2016年，Bai等人得出了每条弧都是万能弧的竞赛图的结构。本项目中，我们把该结论推广到局部竞赛图，通过把局部竞赛图分为圆可分解的和非圆可分解的两大类，我们完全刻画了每条弧都是万能弧的局部竞赛图的结构。我们还把关于竞赛图的部分结果推广到超竞赛图中，得出了每个k-超竞赛图包含一个Hamilton圈，且该Hamilton圈中存在三条泛圈弧，每条泛圈弧所在n个不同长度圈的顶点之间相互包含。最后我们还用符号圈方法对圈问题进行研究，给出了图的符号圈划分数的上下确界。