保结构算法在浅水波方程上的应用

Shallow water equations are widely used to simulate the tidal water movement and handle the flooding of rivers. This project aims to study the structural properties of shallow water equations and design new corresponding numerical methods based on the methodology of structure-preserving algorithms with long-term stability, high efficiency and accuracy. In order to solve the shallow water wave problems with irregular domain and dramatic change of solutions, we discretize the spatial direction of the equations by the meshless method for the sake of the nodes flexibility and the method based on the weak form which requires less smoothness of solutions, respectively. To investigate the influence of boundary conditions on structure-preserving algorithms, we consider a unified framework of constructing local structure-preserving algorithms for general conservative partial differential equations. Then we apply it to several classical shallow water equations to derive a series of local structure-preserving algorithms. Via extensive theoretical researches and numerical comparisons, this project will provide a detail report on mathematic structures and structure-preserving algorithms of shallow water equations, which provides some efficient schemes for simulating the form of river flow, as well as for the benefit of the flood control, the construction and reinforcement of dams.

浅水波方程被广泛用于模拟潮水运动以及处理河水泛滥等水利问题。本项目旨在研究浅水波方程的结构性质并基于保结构算法的思想，设计一些新的、可以长时间稳定、高效、精确地求解浅水波方程的数值算法。为了处理非规则区域上的浅水波模型和解变化剧烈问题，我们分别采用对节点要求灵活的无网格方法和对解光滑性要求弱的基于弱形式的方法对空间方向进行离散；为了研究边界条件对保结构算法的影响，我们考虑一般守恒偏微分系统局部保结构算法的构造框架，并将其应用到若干经典的浅水波方程上，得到一系列局部保结构算法。通过详细的理论研究和数值试验，我们将给出一套完整的有关浅水波方程的数学结构和保结构算法的研究报告，为模拟河道水流的形态、防洪以及堤坝的建设与加固等提供高效的数值算法。

浅水波方程被广泛用于模拟潮水运动以及处理河水泛滥等水利问题，高性能的数值模拟已经成为研究浅水波方程问题的一个重要手段。本项目基于保结构算法的思想，研究具有长时间稳定、高效、可精确求解浅水波方程的数值算法。目前，我们已经取得的一些重要结果如下：.基于线方法的思想，我们分别利用Fourier拟谱方法和4阶紧致差分算子对方程进行空间导数的离散，所得到的半离散系统仍然具有哈密顿结构，为下一步时间辛格式应用的合理性和有效性提供了必要条件。.针对实际较复杂的浅水波模型如解剧烈变化带来的频散效应，我们采用对方程正则性要求比较弱的有限元方法对其进行空间导数的离散，成功构造出能量、质量均守恒的Galerkin保结构算法。.基于复合构造方法，从守恒偏微分方程的多辛形式出发，我们首次系统地给出一维守恒偏微分方程局部保结构算法构造的一般框架，并应用于多个典型方程。.对节点灵活的无网格方法（如径向基函数法）的保结构算法构造。.对高维能量守恒算法，我们借助于标准的能量方法、数学归纳法和“lifting”技巧，给出了相应数值解不依赖于网格约束的先验估计和误差估计。.我们对高维情况下薛定谔型方程进行多组爆破实验的模拟和比较，为实际问题提供一定的参考价值。