金融数学中的若干随机分析问题的研究

Nonlinear probability/expectation is an important tool in the pricing of option in incomplete markets . The classical probability theory is based on the additivity of probability/expectation. Such additivity assumption is not feasible in many areas since the uncertainty phenomena can not be modeled using additivie probabilities or expectations. So researchers begin using nonlinear probabilities or expectations to describe and interpret the phenomena. Nonlinear probabilities or expectations have important application prospects in economic mathematics, financial behavior and other fields. ..The main tasks of this project are to study the basic theory of nonlinear probabilities/expectations and investigate the limit behavior of the sequence of random variables under this framework. We want to give the law of large numbers, central limit theorem, law of the iterated logarithm and their invariance principle under nonlinear cases. On this basis, combined with the actual situation in the development of China's financial market, we establish a rational mathematical model and then analyze the data in the financial markets theoretically. We strive to get a reasonable pricing mechanism of financial derivative products and a standard of risk measurement, so we can provide technical support and reference for the relevant regulatory authorities and industry bodies.

金融数学是一门数学与金融学相交叉的前沿学科。其研究内容主要是"两个中心" 和一个基本点 , 即以研究资产定价和量化投资策略为两个中心, 以研究风险度量工具为基本点.金融市场的特性和现代技术的特点已经证明:解决金融市场中的资产定价和量化投资及相应的风险度量问题,随机分析方法是一种重要方法之一，而相应的倒向随机微分方程和非线性期望是目前为止最理想的工具。尽管已有的随机分析理论已在金融研究中产生的很大的作用. 但是, 现有的随机分析理论,已不能满足现代金融市场发展的需要,例如,经典的随机分析理论对完备金融市场得定价和量化投资方法以及风险度量工具产生了具有重要的影响,但这些理论不能满足不完备金融市场的资产定价和量化投资方法需要,因此,我们需要继续发展新的随机分析:本课题重要按照彭实戈提出的 G 随机分析为基础,研究非线性期望,非线性大数定理,非线性中心极限定理,非线性鞅论和相应的倒向随机微分方程

项目执行五年中，项目组围绕金融数学中资产定价和量化投资这两个中心以及风险度量这个基本点，发展了金融研究中的随机分析理论，提出了不完备金融市场的资产定价和量化投资方法，给出了不完备金融市场的风险度量工具。主要研究内容包括：发展了倒向随机微分方程理论，研究了G-布朗运动驱动的倒向随机微分方程的各种性质；研究了非线性期望空间的性质以及非线性期望下上期望和下期望的参数估计方法；研究了非线性概率空间中随机变量的极限行为，包括大数定律、中心极限定理、重对数律等极限理论；证明了完全的G-鞅表示定理；在正倒向双重随机微分系统的最优控制问题中，给出了各种情形下的最大值原理；研究了线性二次博弈问题的随机Volterra积分方程，解决了Chen和Yong 2007年提出的公开问题；研究了正倒向随机Volterra积分方程的最优控制问题，得到了两个最优控制问题的Pontryagin型最大值原理；在假设Arrow-Debreu均衡存在的条件下研究了一期两日纯交换经济，发现资产价格取决于代理人对总消费增长的主观信念，为解决股权溢价难题提供了方向；研究了一致凸风险度量、g-期望和Choquet积分这三类非线性期望之间的关系和差别，证明了使用一致凸风险度量定价总是低于Choquet定价；在行为经济学理论中，提出了行为学习均衡的概念，并应用于资产定价模型和新凯恩斯主义菲利普斯曲线；研究了保险公司的最优分红、注资和再保险策略问题，在不限制的股利率和限制股利率的情况下，得到了价值函数的封闭形式解和最优的联合策略；研究了在非马尔可夫模型中具有一般折现函数和指数效用函数保险公司的最优消费-投资-再保险问题，证明了时间一致的均衡策略和相应的均衡值函数可以通过一个倒向随机微分方程和一个积分方程的唯一解来刻画。. 五年内共举办学术会议11次，其中国际学术会议5次。以本项目的科研成果为基础，共发表论文97篇，获得发明专利权1项，软件著作权5项。