编码和密码中的若干问题研究

This project mainly studies the problems of sequences and quantum codes in coding and cryptography，where the problems of sequences include codebook, linear complexity and the distribution of cross-correlation. Details are as follows: this project uses mathematics tools, e.g. cyclotomic number and Gauss period, to construct optimal or nearly optimal codebooks, to give the pseudo-random sequences with high linear complexity and low correlation values by cyclotomic method, to investigate the Helleseth’s conjecture about the distributions of p-ary m-sequences, to characterize constacyclic codes satisfying the Hermite self-orthogonal conditions, to give new quantum MDS codes of length greater than q+1 and the minimum distance larger than q/2+1, and to obtain a quantum MDS code with dimension 1 and length greater than q+1.

本课题主要研究编码和密码中有关序列和量子码的相关问题，其中序列相关研究包括码本，线性复杂度和互相关值分布。具体如下：利用分圆数、高斯周期等数学工具，构造最优或几乎最优码本；通过分圆手段构造具有高线性复杂度和低相关值的伪随机序列；利用指数和以及组合等方法，研究p元m序列的相关值分布的Helleseth猜想；刻画常循环码满足Hermite自正交的条件，构造出长度大于q+1，距离大于q/2+1的新的量子MDS码，从而给出一些维数为1，长度大于q+1的MDS量子码。

量子纠错码是一种能够克服量子信道噪声的编码方案，它可以使量子计算机在有噪声的环境中有效计算，也能使量子消息在带噪声的量子信道上实现可靠通信，因此量子纠错码是量子信道编码中最重要的研究内容之一。本课题主要研究了编码和密码中的若干问题。具体如下：一是研究了有关二元压缩Reed-Muller码推广码的最小距离，并给出了一些的新结果；二是通过研究Hermite自正交的经典极大距离可分码或常循环码，构造了新的量子极大距离可分码。