具多项式非线性的椭圆型方程的多解计算

Semilinear elliptic equations and systems of elliptic equations are models of many problems in science and engineering. Numerically finding multiple solutions of these equations are of critical importance for the practical problems under investigation, since it usually provides valuable information on exact solutions, such as structure of the solution set and shapes of the solutions. In practical problems, many semilinear elliptic equations and systems of elliptic equations turn out to be polynomially nonlinear. After discretization, such nonlinear differential equations will be transformed into polynomial systems. The homotopy continuation method in numerical algebraic geometry is an efficient method for finding all solutions of a polynomial system numerically. Hence, in this project, our focus is elliptic equations and systems of elliptic equations with polynomial nonlinearity. We will concentrate on discretization methods for the differential equations and homotopy continuation methods for the discretized polynomial systems, with various domains, including square and disk in two dimensions and cubic and ball in three dimensions, and with two kinds of nonlinearities, including the constant-coeffecient polynomial nonlinearity and the variable-coeffecient one. We will also consider the application of our algorithms in practiacl problems.

半线性椭圆型方程和方程组广泛存在于科学与工程问题中。通过数值计算这些方程和方程组的多解，我们可以获取解集和解的形状等方面的信息，为解决原来的科学与工程问题提供强有力的帮助。现实中的很多半线性椭圆型方程和方程组具有多项式非线性，此类微分方程离散化后的代数方程组将是多项式方程组。数值代数几何中的同伦延拓法是获取多项式方程组全部解的有效数值方法。因而，在本课题中，我们将专门针对多项式非线性椭圆型方程和方程组的多解计算进行研究。具体而言，我们将从微分方程离散化方法和离散后的多项式方程组的同伦方法两方面入手，研究二维方形区域和圆形区域上，具有常系数和变系数多项式非线性椭圆型方程和方程组多解计算的理论和算法。在此基础上，我们将进一步研究三维相关问题的多解计算，以及这些理论和算法在科学与工程问题中的应用。

本项目按研究计划执行了多项式非线性方程多解计算方面六个问题的研究，其中三个问题取得成果，其他三个问题由于难度比较大目前还在继续研究。另外，在此项目资助下，还开展了带PDE约束优化方面两个问题的研究，以及非线性特征值问题数值计算的研究。下面我们对取得的成果做简要介绍。.I. 多项式非线性微分方程边值问题的多解计算.（1）对于带多项式非线性的椭圆型微分方程的边值问题，证明了特征函数展开法得到的离散化问题解集合继承了连续问题解集合的对称性。构造了能保持对称性的同伦，以快速求解一般常系数三次和五次非线性椭圆方程离散化方程组的全部解。.（2）对于四阶的非线性常微分方程边值问题，得到特征函数展开法的离散误差估计，提出求解离散方程组的扩张同伦方法，并且提出新的伪解过滤策略，即采用有限差分格式作为过滤子。.（3）对于微分方程组的边值问题，得到特征函数展开法的离散误差估计。同时我们还构造了求解微分方程组多解的对称同伦方法，该同伦还保持了微分方程组的结构对称性。.II. 带PDE约束的优化问题.很多力学或控制中的问题都可以表述为带偏微分方程约束的优化问题，这一类问题所涉及的理论及算法也非常具有挑战性和实用性。我们做了如下的工作：.（1）对带状态约束的椭圆型最优控制问题，我们采用Lavrentiv正则化，用一系列带控制约束的问题逼近原问题。我们对正则化问题采用分片线性有限元进行全离散，并做误差估计。我们提出用各向异性的交替方向乘子法（ADMM）和两阶段策略以快速求解离散化问题。.（2）对目标泛函带L1范数的稀疏最优控制问题，我们提出函数空间中的交替方向乘子法（ADMM）。我们定义了近似的离散L1范数和近似的离散L2范数，并对离散化问题做误差估计。我们提出改进的ADMM方法求解离散化问题。.III. 非线性特征值问题.非线性Schrodinger方程的行波解可归结为一个非线性微分方程的特征值问题，最小特征值对应的特征函数对应于基态，其他特征值对应的特征函数对应于激发态。激发态对应的特征值问题也是一个既有趣又有挑战性的问题。我们做了如下工作：.（1）我们对非线性特征值问题采用有限差分法进行离散，用一种新方法得到特征值和特征函数的误差估计。我们构造了能够对特征值大小保序的同伦，以计算非线性特征值问题的多个特征值和特征函数。