芬斯勒几何的一些整体性质

The main purpose of the present research program is to study some global properties on Finsler geometry, mainly on Finsler submanifolds and harmonic maps bewteen Finsler manifolds. As for Finsler submanifolds, using the fundamental formulas of the induced Chern connection for Finsler submanifolds, we study the classification theorems for submanifolds of Randers space with constant mean curvature and for hypersurfaces of (α, β)-space with positive flag curvature, and the vanishing theorems of harmonic forms for Finsler hypersurfaces, etc. As for harmonic maps, we study the Liouville theorems and stability for harmonic maps bewteen Finsler manifolds, etc. The contents of this research program are the most active parts of the international research fields in global Finsler geometry. Therefore the study on this research program is of very important significance and has extensive prospect.

本项目研究Finsler几何的若干整体性质，主要包括Finsler子流形和Finsler流形间调和映射。子流形方面，将以申请人已建立的Finsler子流形中有关Chern联络的Gauss公式为基础，重点研究Randers空间的具有常平均曲率的子流形分类定理、具有正常旗曲率的(α, β)-空间的超曲面分类定理以及Minkowski空间中稳定超曲面上调和形式的不存在性等；调和映射方面，重点研究出发流形为非黎曼的Finsler流形间调和映射的Liouville型定理和稳定性等。本项目研究内容是国内外整体Finsler几何研究最具活力的方向之一，对此课题研究具有广阔的研究前景与重要意义。

本项目主要研究Finsler几何的若干整体性质。子流形方面，首先我们以已建立的Finsler子流形中有关Chern联络的Gauss公式为基础，研究了Randers空间中的超曲面，得到具有常平均曲率（第二平均曲率）的超曲面的分类定理。同时我们在Finsler流形上定义了一个自伴算子，利用这个算子研究了Randers空间中具有常二次平均曲率的超曲面，从而得到一个分类定理。我们考虑具有数量旗曲率的Randers流形的情况，得到一个Randers流形的旗曲率为常数的充分条件。本项目研究内容是国内外整体Finsler几何研究最具活力的方向之一，对此课题研究具有广阔的研究前景与重要意义。