基于函数分析方法的环形势场的精确解

Based on the properties of sepcial functions, this project will develop and apply the functional analysis method to investigate the exact solutions to double ring-shaped potential. Through the separation of varibales for the Schr?dinger equation with this potential in spherical coordinates, the angular equation can been translated super-universal associated-Legendre,in terms of the behavior of the angular equation at the origin, we may obtain the series solutions to the angular differential equation expressed by the convergent polynomials and its quantization condition. Considering the properties of special functions, by using functional analysis method we shall obtain the normalized exact solutions to the radial equation, the energy levels, the phase shift formula, the discussions on some special cases, the analytical property of the phase shift as well as the relation between the bound states and scattering ones. As far as the spinless particle, we shall study the exact solutions of the Klein-Gordon equation with the ring-shaped potential using the property of the special functions. For the spin ? particle, we shall propose how to solve the Dirac equation with the ring-shaped potential in the case of unequal scalar and vector potentials. According to the properties of special functions, we shall obtain the exact solutions of the bound states and scattering ones by using the functional analysis method. We will also discuss their relativistic property, in particular reveal the pseudospin symmetry. The results to be obtained shall provide a solid theoretical foundation for the studies of non-spherical nuclean's structure and the ring-shaped molecule, etc.

本项目将根据特殊函数的性质，发展并运用函数分析方法来研究双环形势场的精确解。把双环形势场的Schr?dinger方程在球坐标系分离变量，角向方程为超普适的连带勒让德微分方程，根据其在原点处的行为，给出其收敛的用多项式表示的级数解和角向量子化条件。基于特殊函数的性质，用函数分析方法获得径向方程的精确解，给出束缚态的能谱方程、散射态的相移表达式和归一化的径向波函数，并讨论势场的退化、相移的解析性质以及束缚态与散射态的关系等问题。对于0自旋粒子，基于特殊函数的性质研究环形势场的Klein-Gordon方程的精确解，对于1/2自旋粒子，在标量势不等于矢量势的情况下,提出环形势场Dirac方程的退耦方案，基于特殊函数的性质并应用函数分析方法给出束缚态和散射态的解析解，讨论它们的相对论特性，特别是要揭示环形势场的赝自旋对称性。所获结果将为环形势场在非球形核的结构、环状分子等问题的研究提供理论基础。

用函数分析方法寻找各类势场的精确解析解一直广大物理学工作者追求的目标之一，也是国际理论物理学界研究的热点课题之一。本项目《基于函数分析方法的环形势场的精确解》(11275165)经过4年时间的研究，完成了项目书原定的任务。在国内外物理学期刊上共发表研究论文13篇，其中SCI收录12篇，被SCI引用67次，单篇引用最高的达22次。主要研究成果有：(1)用函数分析方法获得了更普适的广义缔合勒让德微分方程的精确解——更普适的广义缔合勒让德多项式，并研究了它的数学性质。(2)分别给出了双环形振子和双环形库仑势Schrödinger 方程的精确解，获得了精确的能谱方程和归一化的角向波函数和径向波函数，散射态的相移表达式和按一定标度归一化的径向波函数。研究了散射振幅的解析性质以及束缚态与散射态的关系。(3)获得了一类复杂微分方程的精确解，缔合勒让德微分方程、广义缔合勒让德微分方程以及天体物理中特殊情况下的角向Teukolsky方程都是它的特例。讨论了广义缔合勒让德多项式的母函数、微分表示、递推关系等数学性质。(4)研究了1/2 自旋粒子在环形势场中运动时自旋轨道相互作用对能级的影响。对于单环形势场，磁量子数m等于0的能级仍然是2度简并，但是当m不等于0时，原来4度简并的能级由于自旋轨道相互作用分裂为2条能级，并且当势参数b大于某一数值时，分裂的能级发生反转。对于双环形势场，m等于0的能级仍然是4度简并的，但是当m不等于0时，原来8度简并的能级由于自旋轨道相互作用分裂为4条能级，特殊的参数c值会出现一些新的简并现象。(5)给出了含有更普适的广义缔合勒让德多项式或广义缔合勒让德多项式的一些定积分的值，这些结果在国际上著名的数学手册上都没有列出。所有上述结果，为环形势场以及更普适的广义缔合勒让德多项式和广义缔合勒让德多项式在非球形核的结构、环状分子等实际问题中的应用提供了坚实的理论基础。