有限混合模型中的若干理论研究及其应用

Finite mixture models have been widely used in many disciplines such as astronomy, genetics, medicine, engineering, social sciences and so on. According to the background in practice, a series of top and challenging problems in finite mixture models are investigated in this study. The main contents of this study include the following three parts: (1) the heterogeneity and order testing problems in finite mixture models; (2) the likelihood based parameter estimation in finite mixture models; (3) the application of finite mixture models in many areas. For the three parts, the first part includes that as follows: the heterogeneity and order testing problems in finite location-scale mixture models; the heterogeneity and order testing problems in finite gamma mixture models; the heterogeneity and order testing problems in multivariate finite normal mixture models. The second part includes that as follows: when the order is over-assumed, studies on the likelihood based parameter estimation in finite location-scale mixture models and finite gamma mixture models. The third part includes that as follows: the applications of finite mixture models in Hardy—Weinberg problem and quantitative trait locus mapping problem, both encountered in genetics; the application of finite mixture models in the two-sample problems in medicine; the application of finite mixture models in signal detection.

有限混合模型在天文学、遗传学、医学、工程学和社会科学等领域应用极其广泛。根据实际问题背景，本研究拟解决有限混合模型中的一系列热点和难点问题，具体研究内容可分为以下三大部分：（1）有限混合模型中的同质性和阶数检验问题；（2）有限混合模型中的基于似然的参数估计问题；（3）有限混合模型在多个领域中的应用。其中，第一部分包括：有限位置-尺度混合模型中的同质性和阶数检验问题；有限伽马混合模型中的同质性和阶数检验问题；有限多维正态混合模型中的同质性和阶数检验问题。第二部分包括：在阶数被过度假设时，分别研究有限位置-尺度混合模型中基于似然的参数估计问题和有限伽马混合模型中基于似然的参数估计问题。第三部分包括：有限混合模型在遗传学中的Hardy-Weinberg问题和数量性状位点检测中的应用；有限混合模型在医学实验中常见的两样本问题中的应用；有限混合模型在信号检测中的应用。

假设检验在推断有限混合模型阶数或齐次性中起着非常重要的作用，根据实际问题背景需要及现有研究的不足，本项目构建了一些假设检验方法来检验有限混合模型及与混合模型有关的非正则模型的齐次性。主要研究内容如下：(1) 针对有限多元泊松、位置-尺度、Gamma混合模型的齐次性，本项目分别构建了EM-检验，并推导出其极限分布的上界为一上确界。(2) 在有限位置-尺度混合模型下，本项目给出极大似然估计或惩罚的极大似然估计相合性质证明及其有限样本性质的研究。(3) 本项目研究了带混合结构的两样本问题和三样本问题。针对带有混合结构的两样本问题，本项目分别构造EM-检验方法检验位置差异和尺度差异，推导出其极限分布均为卡方分布；进一步，在此两样本问题下，我们考虑不等式辅助信息，我们分别在参数模型、半参数模型下，构造EM-检验、经验似然比检验，推导出极限分布为混合卡方分布，并给出计算样本量的公式；对于有混合结构的三样本问题，我们构造了似然比检验以推断其的齐次性。(4)对于数量位点检测问题，我们分别在姐妹染色单体有双重交叉和无双重交叉下构造似然比检验，并推导出其极限分布均为卡方过程的上确界；另外，我们建立了信仰推断方法，此方法在小样本情形下优于似然比方法。(5)在有污染的混合模型下，我们构造了EM-检验来推断模型齐次性，推导出其极限分布为有飘移的混合卡方分布。(6) 在函数型数据中，本项目建立了函数型主成分分析的估计方法，并建立了相应估计的大样本性质。在一般加权框架下，研究了函数型主成分的收敛速度。(7) 在质量控制中，针对高维属性数据、高维数据流，本项目分别建立了有效的控制图合诊断程序。上述成果中的数值模拟和实例分析均表明所构建方法具有优良特性，对于医学、遗传学、工业工程和社会科学等众多领域具有指导意义。