自相似集的局部性质：有限型、弱分离、Furstenberg齐性与Assouad维数

Furstenberg introduced the homogeneity of fractal in terms of micro-sets. The notion of micro-set gives a new perspective of the study on the local properties of fractals. Introducing the generalized Furstenberg's homogeneity and applying Ahlfors regularity and density approach, we try to study the intrinsic relations among (strong) finite-type, weak sepearation condition and Furstenberg homogeneity. We also plan to invesitage the change of Assouad dimension under quasi-Lipschitz mappings, using quasi-Assouad dimension and uniform disconnectness. The project will help us to further comprehend the local properties of self-similar sets from geometric structure.

自Furstenberg提出分形集的齐性概念以来，可以从micro-set出发统一分形的诸多局部性质的研究。本项目计划引入广义Furstenberg齐性，通过Ahlfors正则性、密度定理等测度技术研究(强)有限型、弱分离、Furstenberg齐性之间的内在本质联系；对Assouad维数，本项目计划通过拟Assouad维数、一致不连通性等研究在拟Lipschitz映射下Assouad维数的变化。本项目的开展，将有助于从几何结构上进一步加深对自相似集的局部结构的理解。

本项目利用了弱分离条件下测度的Ahlfors性质，证明了弱分离蕴含着测度弱有限型，并得到有限型等价于弱分离加上某个条件，而这个条件对于IFS的不变集为区间时却很容易验证，因此我们的结果包含了J. Eur. Math. Soc. 2016一文的主要结果；我们利用测度分拆的组合技巧，得到两个压缩比可公度的强分离自相似集Lipschitz等价的充要条件；此外，我们利用限制的Frobenius问题，得到可微点集的Hausdorff维数，该维数也是Sierpinski型海绵的双Lipschitz不变量；上述工作分别发表于Math. Z, J. Lond. Math. Soc., Adv. Math.等期刊。