大规模高次多项式特征值问题的求解及应用

One important aspect of aerodynamic optimization design in the research and development of aircraft and high-speed trains is to prevent the occurrence of hydrodynamic instability. So we need to analyze the stability of the fluid. When we use numerical methods for fluid stability analysis, the main work is to solve the Orr-Sommerfeld equation numerically. The problem can be reduced to a large-scale quartic eigenvalue problem, which is an open problem in the current fluid stability analysis. For polynomial eigenvalue problems, the study is focused on the quadratic eigenvalue problem and there is no specific research on the quartic eigenvalue problem. The applicant have studied the quadratic eigenvalue problem deeply and obtained some useful results. In practical application,we are interested in a few eigenvalues and eigenvectors with certain properties. This project aims to develop the projection methods from quadratic eigenvalue problems to quartic eigenvalue problems. And the key issues are: how to construct the projection subspace and how to restart the method. On the practical side，the proposed research will contribute to the development of aircraft and high-speed trains. On the theoretical side, the theoretical approach will be developed as a general method to solve more polynomial eigenvalue problems.

在飞行器及高速列车的研发过程中，空气动力学优化设计的一个重要方面就是防止流体不稳定性的发生，需要进行流体稳定性分析。数值求解Orr-Sommerfeld 方程是通过数值方法进行流体稳定性分析的重要内容，该方程的求解最后归结为一个大规模四次多项式特征值问题，这是目前流体稳定性分析中的一个公开问题。当前研究最多的是二次特征值问题，对于大规模四次特征值问题，目前国内外还没有专门的研究。本项目申请者近期在二次特征值问题方面进行了深入研究，本研究将在申请者已有工作的基础上，以四次特征值问题为出发点，根据应用中需要求解四次特征值问题的部分特征值和特征向量的特点，通过重点解决投影子空间的形成和投影算法的重新启动这两个难点问题，建立大规模四次特征值问题的投影算法，为飞行器研究提供技术支持。在此基础上，将研究过程中得到的理论和方法推广到其它类型的多项式特征值问题当中，以丰富和完善多项式特征值问题的解法。

本项目按照申请书中的目标和计划研究了大规模多项式特征值问题的求解和应用。我们从子空间的构造，子空间中信息的提取和子空间的重新启动三个方面分别进行了探索。在子空间构造方面，根据大规模问题的特点，在非精确求解思想的基础上，提出了修正的非准确幂法，非准确求解的残量迭代法和Jacobi-Davidson方法；在子空间信息提取方面，提出了多项式特征值问题的精化投影方法；在重新启动方面，提出了显式投影方法的隐式重新启动策略。我们进一步探索了利用几何的观点和工具来分析和理解矩阵子空间的性质，在微分几何方面进行了系列的探索和准备。.除研究特征值问题的理论和算法外，我们还对相关的应用领域进行了探索，展开学科交叉研究和合作研究。本项目还探索了在飞行控制问题中的应用，利用矩阵子空间及投影方法的相关思想，提出了一种新的基于亚可达集的飞行控制分配方法。探索了在纳米磁粒子系统稳定性分析中的应用，我们首先通过求解其中的大规模矩阵特征值，解决应用中的一个关键问题，然后进行了更加深入的探索和研究，并取得了相应的成果。这些探索促进了与相关领域的交叉研究和交流合作，为下一步研究开创了新的方向。.相关研究结果共完成论文十多篇，正式发表论文10篇，培养研究生两名，支持长期出国交流访问一人次。