时间/时空分数阶Cable方程的并行正交样条配置法研究

Time/Time-Space fractional Cable equations have a very important significance for modelling the anomalous diffusion of dendritic spines in neurons, and how to design the high-precision and high-efficiency algorithm is one of important problems in modern scientific computing. This project will combine the domain decomposition algorithm and orthogonal spline collocation method to study time/time-space fractional Cable equations, and the contents include two parts as follows: (1) Based on orthogonal spline collocation method, we propose the full-discretization formula, establish the theory of stability and convergence, and provide the long-time error estimates by the exponential decay error estimate with weight and Hardy inequality; (2) For the almost block diagonal system, combing domain decomposition method, we propose the parallel algorithm and verify the practicability of scheme and the effectiveness of theoretical analysis by numerical examples. The expected results of the project will not only enrich the numerical algorithm and error estimate theory of time/time-space fractional Cable equation, but also widen the application scope of the orthogonal spline collocation method, and hope to solve some practical applications, for example, oil seepage, ground water pollution and so on, which are significant to the theoretical research and practical applications.

时间/时空分数阶Cable方程在神经元树突棘反常扩散模拟中有着非常重要的意义，对于其高精度、高效率的求解也成为现代科学计算的重要问题之一。本项目拟结合区域分解算法和正交样条配置方法来研究时间/时空分数阶Cable方程，研究内容包括以下两个方面：(1)基于正交样条配置方法，构造模型的全离散格式，建立其稳定性和收敛性理论，并通过带权指数衰减误差估计和Hardy不等式推导出模型的长时间估计; (2)针对问题所产生的几乎块对角线性系统，结合区域分解策略，给出并行求解算法，并通过数值算例验证方法的可行性以及理论分析的准确性。本项目的预期成果不仅能丰富时间/时空分数阶Cable方程的数值模拟算法以及误差分析理论，还将扩大正交样条配置方法的应用范围，并有望解决某些实际问题，如石油渗流、地下水污染等，具有重要的理论意义和应用价值。

分数阶偏微分方程，特别是分数阶Cable方程在神经元树突棘反常扩散模拟中有着非常重要的意义，对于其高精度、高效率的求解也成为现代科学计算的重要问题之一。本项目结合了区域分解算法和并行正交样条配置方法来研究各类分数阶偏微分方程，研究内容主要包括以下两个方面：(1)基于正交样条配置方法，构造模型的全离散格式，建立其稳定性和收敛性理论，并试图推导出模型的长时间估计; (2)针对问题所产生的几乎块对角线性系统，结合区域分解策略，给出并行求解算法，并通过数值算例验证方法的可行性以及理论分析的有效性。. 本项目的成果主要以科研论文的形式体现，在项目执行期间，以第一作者或通讯作者发表，并标注该项目编号论文8篇，其中SCI 7篇，影响因子达到1.2以上有5篇。如，针对二维四阶分数阶反应扩散问题，提出了一类新的基于正交样条配置方法的数值求解格式，时间方向的Captuo分数阶导数采用分数次差分格式进行离散，空间方向采用正交配置方法进行离散，所得到的离散格式其收敛阶可以达到时间3-\alpha阶以及空间r+1阶精度；针对高阶分数次扩散系统，在空间方向我们采用OSC方法，时间方向采用L1方法，给出了对应的全离散格式，该方法是无条件稳定的，并给出了误差估计等。. 本项目的预期成果不仅能丰富分数阶偏微分方程的数值模拟算法以及误差分析理论，还将扩大正交样条配置方法的应用范围，并能有效解决某些实际问题，如石油渗流、地下水污染等，具有重要的理论意义和应用价值。