数据处理中的若干数学逼近方法问题研究

小波分析理论是上个世纪八十年代中期发展起来的一个新的数学方法，到目前为止已经形成了系统的理论，在应用中也已取得了巨大的成功。近几年来，高度稀疏信号恢复问题得到了包括菲尔茨奖获得者T.Tao、J.Bourgain、美国科学院院士D.Donoho、小波分析权威I.Daubechies、世界数学家大会1小时报告人R.Devore及特邀报告人E.Candes等人的高度关注，他们证明了[1-5]：在一定条件下高度稀疏信号能用几乎最少的试验次数精确恢复，并也发展了一系列算法。然而，在实际问题中，大量的信号并不是高度稀疏的，甚至是不稀疏的。因此研究信号在特定基下的稀疏表示及其用稀疏信号来逼近非稀疏信号问题就变得十分重要了。项目将针对上述问题开展研究，研究内容包括：1、用小波分析方法研究信号的稀疏表示问题；2、用非线性逼近理论方法研究非稀疏信号的逼近问题及其恢复问题；3、利用随机理论研究随机信号的恢复问题

由于信息科学、生命科学、以及医学领域中出现了大量高维数据，高维数据处理问题就成为这些研究领域中的共同关注的热点问题之一。目前，各种数学方法已经被成功地应用于该领域的研究中。特别值得指出的是：当这些数据具有某种特殊结构时，如稀疏性或可压缩性（此类情况在医学、物理、雷达等具有实际背景），小波分析理论、函数逼近理论、优化理论、矩阵理论以及随机矩阵理论等数学理论已经被成功地应用于此类信号恢复的研究中。这类数学问题的研究也被称之为“压缩感知”研究领域，它是一个典型的交叉研究领域，它被广泛地认为是高维数据处理中的重要数学研究内容之一。然而，在实际问题中，大量的信号并不是高度稀疏的，甚至是不稀疏的。因此研究信号在特定基下的稀疏表示及其用稀疏信号来逼近非稀疏信号问题就变得十分重要了。在本项目的支持下，项目组成员系统的研究了基于紧框架稀疏表示的压缩感知问题。另外我们也考虑与压缩感知理论紧密相关的其他数学问题，例如低秩矩阵恢复，信号分离，贪婪算法，非凸和凸优化算法等等。课题组的一系列研究成果已经在国内外的知名专业杂志上发表，并获得了非常大的关注。学术论文被多名国际上的知名学者在报告和论文中引用。