复杂网络中的动态过程：从微观机制到宏观动力学

至今为止，已经有很多实证工作证实了实际的社会系统、生物系统、技术系统等等都具有非均匀的、异质的结构，理论上可以用复杂网络来描述。如何理解、研究其上面的动态过程，成为对科学家的一个挑战。. 本项目中，主要的工作是为复杂网络上的传染病过程构造一个严格的、平均场意义下的微观机制；以此定义随机过程；并利用随机过程的极限理论，得到确定性动力系统，进行分析。为此目的，首先我们计划对经典的平均场方法，总结归纳它所适用的数学条件。. 对于其它的动态过程，我们认为基本的方法是一致的，所以我们还将把这一套理论推广到其它的动态过程。. 我们还将研究实际的传染病传播数据，与理论所得的结果进行比较。为今后进一步的研究打下基础。同时希望对实际的疾病控制提出有益的帮助与建议。

复杂网络上的传播过程是近年来的研究热点，大量的研究是在平均场的假定之下，直接建立宏观的确定性方程。另一方面，从随机场发展出来的接触粒子系统理论对于底层结构的齐次性要求很高，很难移植到复杂网络上的动力学过程。本项目主要的工作是为复杂网络上的传染病过程构造一个严格的、平均场意义下的微观机制；以两条半边的接触和个体状态的迁移作为基本的泊松流，以之为基础定义随机过程；并利用随机过程的极限理论，得到确定性动力系统，进行分析。到目前为止，本项目主要完成了四项工作。一: 在这个高维生灭过程中,我们发现了非平衡态特征，在每个四方格子上，顺时针跳跃速率和逆时针跳跃速率不相同。当个体数充分大时，我们利用大参数展开法，得到了相应的确定性平均动力学方程，和线性扩散过程。我们的这个工作为更好的理解生物群体中周期波动的内在来源提供了一个新的思路和看问题的新视角。二：对任意有限的固定时间区间， 在热力学极限下，从随机系统可以得到一个确定性动力系统---所谓的“水动力极限”。同时，我们得到了收敛速度的估计。三：研究底层结构对SIR型传播的影响。除了周知的阈值决定因素之外，我们发现另一个看起来矛盾的现象：当传染率 超过阈值 后，异质结构对于传播具有消极影响。我们对机制作了定量的解释。更进一步，我们引进了“合作性”的概念，来测量异质性对于爆发规模的总体影响，发现“合作性”负相关于底层结构度分布的变异系数。这个结果告诉我们，底层结构的异质性在疾病的开始阶段和传播阶段有不同的作用模式。四：是把传统的另一种传染病建模方式：“对边(pair wise)模型”，进行随机化和离散化。同样发现了比平均场模型更加丰富的性质，主要是非平衡态特征。