非线性Cahn-Hilliard型方程自适应高阶稳定数值方法分析

Efficient numerical method for strong nonlinear，small parameter, high-order partial differential equation is an important research field of scientific computing.This project is based on the classical Cahn-Hilliard model equation. A class of adaptive high-order methods of unconditionally stability, lager time-step will be proposed. The contents are as follows:(1) for the Cahn-Hilliard equation, the high-order lager time-step methods of FV\compact difference coupled with IMEX-Runge-Kutta\Strong stability preserving will be analyzed. (2) the space-time adaptive method will be given, and the theoretical analysis will be deduced. The methods in this project have some advantages: lager time-step, strong stability, low computational complexity, small storage capacity etc., and could effectively solve the problems with strong nonlinear, small parameter, high order partial differential equations. It might meet the simulation accuracy and reliability requirements of large-scale computing problems, and achieve high efficiency and high precision algorithm.

强非线性、小参数、高阶偏微分方程的高效数值方法是科学计算领域的一个重大研究问题，涉及面广，模型众多。本项目以经典的Cahn-Hilliard模型方程为切入点，发展一类高阶无条件稳定、大时间步长、自适应的新型耦合数值方法，从格式构建、理论分析、计算实现三方面出发，主要研究：（1）Cahn-Hilliard方程的有限体积及紧致差分的IMEX-Runge-Kutta\Strong stability preserving稳定高阶方法的构造及理论分析；（2）Cahn-Hilliard方程的时空自适应方法的构造和理论分析。项目所提出的新方法具有时间步长大、稳定性强、计算量低、存储量小等优点，可以有效处理强非线性及小参数，可以满足大规模计算实际问题时对模拟精度和置信度的要求，实现高效高精度算法。

高阶偏微分方程的数值模拟是科学计算领域的重大研究问题之一。由于实际问题的复杂多变性，导致此类方程具有强非线性、小参数、高阶性等诸多难点。本项目以经典的Cahn-Hilliard模型方程为切入点，目的在于建立稳定实用高效的数值方法，并进行严格的理论分析。我们的研究内容和重要研究结果如下：（1）针对四阶Cahn-Hilliard方程，我们把高阶紧致差分格式与显隐Runge-Kutta\Strong stability preserving方法耦合，将前者应用到空间离散，后者应用到时间离散，处理Cahn-Hilliard方程的高阶性和小参数的影响。为了有效处理方程的强非线性，保证能量的衰减和格式的稳定性，利用能量泛函的凸凹分解技巧，采取合理的凸凹分裂划分隐式部分和显式部分，使非线性方程简化为离散的线性方程组，从而大大的减少实际计算工作量，提高运算的效率。给出了能量递减的理论证明和方法的稳定性分析；并进行了数值试验，与已有的方法进行比较分析，得到了理想的数值结果。（2）在大时间步长的显隐Runge-Kutta方法的基础之上，考虑自适应的数值方法。首先，借助稳定的显隐Runge-Kutta方法应用大的时间步长得到粗略的数值解；然后，应用Proper Orthogonal Decomposition (POD)构造新的基函数，进行降阶处理；应用Discrete Empirical Interpolation method (DEIM)处理方程中的非线性项；两种方法结合可以降低计算量，减少存储空间，大大提高数值计算的效率，得到更精细高效的数值解。项目所提出的新方法具有时间步长大、稳定性强、计算量低、存储量小等优点，可以有效处理强非线性及小参数，可以满足大规模计算实际问题时对模拟精度和置信度的要求，实现高效高精度算法。形成的论文相继发表在《Computers and Mathematics with Applications》、《Journal of Computational and Applied Mathematics》和《International Journal of Compute Mathematics》。