振荡积分算子指数衰减性质及相关问题的研究

The oscillatory integral operator is a basic class of operators in harmonic analysis. These operators are closely related to some important problems in harmonic analysis and have widespread applications in analysis. The main purpose of this project is to consider the power decay property of oscillatory integral operators and other related issues. In detail, our objective contains two parts. Firstly, we shall establish the sharp power decay property of one-linear oscillatory integral operators with smooth phase in some class, and consider the endpoint Sobolev regularity estimate of Radon transforms. Secondly, we shall study the optimal decay power of multi-linear oscillatory integral operators with polynomial phase, and establish the power decay property of general oscillatory integral operators with non-degenerate phase.

振荡积分算子是调和分析领域一类基本的算子，它不仅联系着一些调和分析的核心问题，而且在分析方向有着广泛的应用。本项目研究振荡积分算子的指数衰减性质及其相关问题，其主要内容包括：(一) 建立光滑相位的单线性振荡积分算子的最佳指数衰减性质，研究与之紧密相关的平均算子 Radon 变换的端点 Sobolev 正则性估计成立的条件；(二) 研究多项式相位的多线性振荡积分算子的最佳衰减估计，并建立一般非退化相位的多线性振荡积分算子的指数衰减性质。

本项目主要研究振荡积分算子的衰减估计. 作为退化 Fourier 积分算子的一种模型， D.H.Phong 和 E.M. Stein 系统研究了振荡积分算子的 L2 衰减估计. 从 1994 年开始，Phong 和 Stein 从齐次多项式相位情形的研究开始，并于 1997 年得到了实解析相位的牛顿距离和算子衰减指数的几何关系的著名定理. 值得提及的是，Phong、Stein、Sturm 三人合作，深入观察出二维代数区域可以分解成有限个曲边梯形的事实，给出了多项式相位的振荡积分算子的一致性最佳 L2 估计，得到了更强的稳定性结果；同时，他们给出了函数变量自由度为1的多线性振荡积分算子的一致Lp 估计. 此外A. Carbery、M. Christ、J. Wright 建立了振荡积分及算子的 van der Corput 型一致估计. 将前面提到的 Phong、Stein、Sturm 和 Carbery、Christ、Wright 的工作推广到非常一般的情形，是 2005 年由 M. Christ、X. C. Li、T. Tao、T. Thiele 合作给出的. 他们建立了一般的多线性振荡积分泛函，并提出一个基本的问题，即相位的非退化性和衰减估计的存在性是否等价，他们只证明了一些特殊情形的一致衰减估计. 本项目的研究主要集中在振荡积分算子的最优 Lp 估计和一致的 Lp 衰减估计，获得了的结果有：(1) 对加权齐次的多项式相位的振荡积分算子，我们得到了它的一致最佳 Lp 衰减估计及其高维一致 Lp 估计的推广。一方面，建立了稳定的最佳 Lp 估计，并推出高维的类似结果；另一方面，利用高维结果，给出了 Greenleaf、Pramanik、Tang 一个问题 (Jour. Func. Anal. 244, 444-487, 2007) 的反例. (2) 从带阻尼的振荡积分算子的研究开始，得到了一类新的带阻尼的 L2 衰减估计，并利用此结果，给出了相应的最佳 Lp 估计的一个新证明. (3) 对于高维满足秩1条件的高维齐次多项式相位，得到了一般情形下的振荡积分算子的最佳 Lp 估计.