连续介质中的灾变波：爆破波和奇异波

In recent years, the damage caused by natural disasters on the ecological environment, infrastructure and human society is increasing. The direct economic losses is about 200 billion yuan per year in China. Against the real problems on the disaster waves such as the tsunami, the hurricance and the rouge waves, the project will establish some significant nonlinear mathematical physics models and analysis the mathematical and physical mechanism with some new methods, such as the darboux transformation and Backlund transformation related nonlocal symmetry method, new symmetry group and conservation law theory, the mulitiple linear sepration?method, muliple scale expand analysis and new function expantion method etc. By applying the newly established methods to real traditional important physical models such as the KdV, KP, DS and multiple vortex wave equations and some new obtained nonlinear models, various meaningful exact solutions, which may be useful to understand some types of disasters, will be found.

近些年来，各种灾害，尤其是海啸、台风、奇异波、地震等自然灾害所引起的损失越来越大。我国每年由此而损失2000 亿元左右。本项目将针对海啸、台风和奇异波等灾害相关的实际问题，建立有意义的非线性数学物理模型，分析这些数学物理模型的稳态和动态性质。在方法方面注意建立、发展和完善与灾害问题直接有关的非线性物理问题研究的新方法，如达布变换和贝克隆变换相关的非局域对称方法、新对称群和守恒律理论、多线性分离变量法、新多重尺度展开和新函数展开法等方法。在研究内容上将这些新建立和发展的研究方法应用于传统的重要非线性模型(如KdV方程、KP方程、DS方程、多涡相互作用模型等)及其新导出的重要非线性数理方程并寻求对灾害问题- - 海啸、台风和奇异波等研究有意义的严格解、近似解和数值解。

本项目针对海啸、台风和奇异波等灾害相关的实际问题，建立有了一些意义的非线性数学物理模型，通过分析这些数学物理模型的稳态和动态性质，为灾害问题，例如海洋中引起巨大灾难的奇异波等相关问题提供有意义的严格解。我们的研究表明，数学物理中的许多模型，例如Bugers方程、DS方程、BLMP方程、NNV方程等等都具有奇异波的严格解。该严格解利用求解非线性方程的重要手段——多线性分离变量法获得，并且可以用通用的公式来表达。另一方面，由于该通式中存在着任意函数，通过对任意函数的不同选择，我们还得到了可以描述海啸问题的爆破波解。.在研究过程中，我们还增加了相关的研究内容。在过对爆破波的研究过程中，我们增加了对非线性Riemann-Hilbert问题和wave breaking的研究。我们的研究表明，利用非线性的非线性Riemann-Hilbert问题，可以获得非线性方程的对称和对称约化。并得到了方程一大批新的严格解。在意大利著名非线性物理学家Paolo Maria Santini的指导下，我们对无色散的2维Toda方程进行了研究，通过Toda方程的非线性Riemann-Hilbert问题，我们得到了方程的对称和对称约化。.本项目正式发表论文十篇，其中SCI收录八篇，培养硕士生四名和指导本科生一名，其中两名硕士生已毕业。