非线性对流扩散问题的弱Galerkin有限元方法研究

Porous medium flow and transport process arise in many different areas and disciplines, including the prediction and remediation of contaminations in groundwater, the design of fuel cells for satellite and electric-power cars, and so on. The mathematical models for describing the complex physical and chemical phenomena in these fluid flow and transport processes often lead to coupled systems of time-dependent nonlinear partial differential equations. The solutions of these systems of have complicated structures and moving steep fronts, especially near the steep front regions. Thus brings various difficulties for their numerical simulations. This project aims to carry out research on weak Galerkin finite element methods, combining with interpolation coefficient technique、characteristic technique, respectively, for nonlinear convection-dominated diffusion equations arising from the mathematical models that describe the porous medium flow and transport process. Moreover, in this project we will also investigate weak Galerkin finite element methods for stationary diffusion equations based on the Hodge decomposition. Theoretical results are confirmed by numerical experiments. In order to achieve optimal convergence, the mesh needs to be graded properly near the corners where the solution has singularities. The WG method studied in the project enriches the existing numerical methods for solving partial differential equations. Moreover, it can also be applied to solve many practical engineering problems.

多孔介质中流体流动过程广泛应用于人们生产生活各个方面，如地下水源污染状况预测与治理、电动汽车燃料电池设计等。流体流动过程中会发生多种复杂物理化学变化，而用来描述这些变化的数学模型常归结为依赖时间的强耦合非线性偏微分方程组，该方程组解的结构非常复杂，且解本身具有变化剧烈的动态界面，必定给数值模拟带来很大困难。本项目主要针对由多孔介质中流体流动过程的数学模型所确定的非线性对流占优扩散方程，结合插值系数技术、特征线技术，开展弱伽辽金有限元方法方面的研究工作。另外，本项目还将提出在等级网格上，利用霍奇分解技术，研究稳态扩散问题的弱伽辽金有限元法，并通过数值实验对理论结果进行验证。为优化数值算法的误差收敛速率，我们将依据解的正则性质，对计算区域进行相应的等级网格剖分。项目的顺利开展将为对流占优扩散问题和非凸多角形区域上稳态扩散问题的处理提供一种新的途径，有助于丰富偏微分方程数值解的理论和方法。

对流扩散方程和其它相关偏微分方程出现于许多工程应用和物理现象的数学模型中，相关数值方法研究一直是计算数学和计算流体力学等领域的热点研究方向。本项目主要在以下三部分取得重要进展。.第一，研究了对流扩散问题的弱Galerkin有限元方法，这是本项目的主要研究任务。本项目在弱Galerkin有限元方法框架内，分别对于稳态情形和瞬态情形，综合运用微分方程先验误差估计技术和算子交换理论，给出了一系列收敛性结果。.第二，研究了扩散问题的弱Galerkin有限元方法。本项目分别对于整数阶扩散问题和时间分数阶慢扩散问题，开展了弱Galerkin有限元方法相关研究。.第三，研究了相场模型问题的有限元方法。本项目分别对于Allen-Cahn方程和Cahn-Hilliard方程，对应的开展了弱Galerkin有限元方法和保能量方法相关研究。.经过四年的深入研究，在本项目的资助下，项目组在国际计算数学主流期刊，如《Journal of Scientific Computing》、《Communications in Computational Physics》、《Applied Numerical Mathematics》、《Numerical Methods for Partial Differential Equations》、《Applied Mathematics Letters》、《Journal of Computational and Applied Mathematics》、《Applied Mathematics and Computation》、《Journal of Computational Mathematics》等上面，共发表17篇期刊论文；参加国内外学术会议10余次；培养研究生10人。.项目的科学意义主要体现在三个方面：（1）提出了基于施加Dirchlet边界条件新技术的修正弱有限元方法，对稳态对流占优扩散方程有效减少边界层或内层的非物理振荡，丰富了计算数学和计算流体力学领域处理此类问题的数值方法；（2）建立了时间分数阶扩散方程和变阶时间分数阶扩散方程无稳定子弱Galerkin有限元研究框架；（3）丰富了Allen-Cahn方程和Cahn-Hilliard方程数值求解方法，在某种程度上推进了相场模型的研究进程。