关于复投影体与Schneider投影问题的研究

In the item we research three problems of the complex projection bodies by the theory of functions analysis , the theory of convex geometry analysis and the way of Fourier analysis. Consists of: (1) We shall introduce a notion of polar dual of complex mixed projection bodies and estiblish Brunn-Minkowski, Aleksandrov-Fenchel and Minkowski inequalities for the polar of complex mixed projection bodies. (2) The complex Schneider's projection problem just confirm the least upper bound of quotient for the volumes of projection bodies of convex bodies and the (n-1)-th power of itself volume. This is a problem that defy solution today. We will put complex Schneider's projection problem and further investigate or solute the complex Schneider's problem. (3) The Petty's projection inequality is the least upper bound of product for the volume of polar body of projection body of convex body and the (n-1)-th power of itself volume. In 1990, Ball putted a conjecture: What is the least lower bound? In 1991, Zhang gived a solution for the Ball's conjecture. Following Zhang, We will discuss and investigate the the complex Ball's conjecture.

利用空间理论、凸几何分析理论和傅立叶变换方法，研究复投影体三个尚未解决的问题。主要有（１）复投影体的极体。 提出"混合复投影体的极对偶"概念，建立混合复投影体极体的Brunn-Minkowski 不等式，Aleksandrov-Fenchel不等式 和Minkowski不等式。（２）复Schneider投影问题。Schneider投影问题是指凸体的投影体体积与它本身体积(n-1)次幂的商的上确界估计，这是至今未能完全解决的问题。本项目在复域提出"复Schneider投影问题"，进一步研究或解决复Schneider投影问题。（３）Petty投影不等式与复Ball猜想。 Petty投影不等式是指凸体体积的(n-1)次幂与其极投影体体积乘积的一个上确界。1990年Ball提出一个猜想：Petty投影不等式的逆？1991年Zhang解决了Ball猜想, 这里拟提出并解决或部分解决复Ball猜想。

利用空间理论、凸几何分析理论和傅立叶变换方法，围绕复投影体三个尚未解决的问题展开研究。 主要有（1） 研究混合复投影体及相关问题。建立混合复投影体体积差的Brunn-Minkowski 不等式，Aleksandrov-Fenchel不等式和Minkowski不等式。 建立了投影体与其对偶体（相交体）差的等周不等式 。（2） 研究了复Schneider投影问题及其相关问题。围绕Schneider投影问题，我们研究了正定矩阵与混合体积、对偶循环Brunn-Minkowski不等式和Orlicz对偶空间的Minkowski不等式和Brunn-Minkowski不等式。 （3）围绕Petty投影不等式与复Ball猜想，我们研究广义投影体（Blaschke–Minkowski同态）与其对偶体（径向Blaschke–Minkowski同态）体积差的等周不等式以及广义投影体的极体的相关极值问题。..立项以来，本项目在国内外学术期刊《数学年刊》A辑，J. Geom. Anal., Forum Math., Diff. Geom. Appl., Indagationes Math.和Results. Math.等发表相关学术论文30篇，其中被SCI收录28篇，国内一级期刊《数学年刊》发表2篇。项目已按照计划较好地完成了预定的任务和目标。