改进的Bourgain空间在色散方程研究中的应用

The low regularity of nonlinear dispersive equation draw many attentions these years around the world. Bourgain spaces X^{s,b}, used by Beals, Bourgain, Kenig-Ponce-Vega, Klainerman-Machedon and others, are fundamental tools in this field. The usual Bourgain spaces are L^2 structured solution spaces. By employing this tool, many important problems were solved and many effective new theorys were raised, such as [k-Z] multiplier and I-method. In this program, we will study some modified Bourgain Spaces: Besov type and L^p type Bourgain Spaces. Through our research, we will develop and generalize the Bourgain Spaces methods on the one hand, and solve or improve some open problems related to the low regularity of nonlinear dispersive equations on the other hand.

非线性色散方程的低正则性问题是近年来国际偏微分方程界的研究热点领域之一。这一研究领域中的一个非常重要的工具是Bourgain空间，经典的Bourgain空间是基于L^2框架的函数空间，许多经典的低正则性问题在此空间框架下得到解决。但是随着研究的逐步深入，经典的Bourgain空间方法在应用中遇到越来越多的障碍，需要进行不断的修正和改进以适用于新的问题。本项目主要关注两类比较典型的改进空间：Besov型的和基于L^p框架的Borgain空间，并用它们来研究一些前人未能解决的关于色散方程的周期或非周期问题。通过本项目的研究，一方面发展和完善Bourgain空间方法等，系统地研究这些新方法中遇到的新问题，并研究这种方法失效的情形下，如何建立一些新的方法和技巧来处理一些具体的问题，另一方面解决或改进某些非线性色散方程的低正则性问题。

偏微分方程在自然科学各个领域有着广泛的应用，自然界中的很多现象和物理学中的众多规律都是用偏微分方程来描述的。本项目关注的色散方程是偏微分方程中的一种，主要刻画了一类质量、能量守恒的物理现象，例如量子力学中的Schrödinger方程，浅水波动中的Korteweg-de Vries方程等。这一研究领域中的一个非常重要的工具是Bourgain 空间，经典的Bourgain 空间是基于L^2 框架的函数空间，许多经典的低正则性问题在此空间框架下得到解决。但是随着研究的逐步深入，经典的Bourgain 空间方法在应用中遇到越来越多的障碍，需要进行不断的修正和改进以适用于新的问题。. 通过本项目的研究，我们得出了一系列创新的结果。其中包括与双曲型Schrödinger方程相适应的Bourgain空间及其应用、在高维周期情形下对Bourgain空间方法和Bourgain的离散型限制性估计的新发展、新型的Bourgain空间与能量方法的结合和高维色散估计在特殊情形下的改进等。在本研究项目执行期间(2013—2015年)，项目负责人共完成SCI论文9篇(已发表见刊6篇，已接收3篇)，其中多篇论文发表在国际知名的杂志上。一方面发展和完善Bourgain 空间方法等，系统地研究这些新方法中遇到的新问题，并研究这种方法失效的情形下，如何建立一些新的方法和技巧来处理一些具体的问题，另一方面解决或改进某些非线性色散方程的低正则性问题。