高效随机保结构算法的构造与分析

Stochastic differential equation can describe the influence of stochastic effect on the system, which is an important mathematical model in the field of modern science and engineering applications. The construction and analysis of highly efficient structure-preserving algorithm is an important scientific problem in the field of numerical research of stochastic differential equations. This proposal focuses on the construction and analysis of high efficient structure-preserving algorithm for stochastic Hamiltonian system in the fields of mechanics and biology, etc. We plan to construct stochastic structure-preserving algorithms by discrete variational principle and Galerkin finite element method; provide highly efficient algorithms by using numerical approximation theory including orthogonal polynomial, function interpolation and stochastic Taylor expansion; clarify the stability mechanism for long-time numerical computation or preservation of important invariants based on backward error analysis theory; propose theoretical foundations for high-performance numerical computing. Expected results of the project will expand in-depth understanding of construction theory of highly efficient stochastic structure-preserving algorithms, promote the development of stochastic structure-preserving algorithms in areas of mechanics, biology, etc, and provide new methods and theoretical foundation for solving more practical problems.

随机微分方程能描述随机因素对系统的影响，是现代科学和工程应用领域中的一种重要数学模型，其高效保结构算法的构造与分析是当前国内外随机微分方程数值方法研究领域的重要科学问题。.本项目聚焦于力学和生物等领域中随机哈密尔顿系统高效随机保结构算法的构造与分析，拟基于离散的变分原理和Galerkin有限元方法的思想，从随机哈密尔顿系统不同的对应形式出发，结合正交多项式、函数插值、随机泰勒展开等数值逼近技巧，以及充分利用解析解的性态来构造高效随机保结构算法；利用向后误差分析揭示所构造算法具有长时间计算稳定性或保持重要不变量的算法机理；通过数值求解应用领域中的相关问题检验理论结果并提供相应算法的高效实现方法。项目的预期成果在丰富高效随机保结构算法的构造理论同时，拓广和深化随机保结构算法在力学和生物等领域中的应用，为更广泛领域的实际问题的求解提供新途径和理论依据。

本项目瞄准保结构算法发展前沿的重要科学问题，重点研究了基于Galerkin有限元的连续级RKN算法和基于精确数值离散的修正辛算法，得到了高效的保结构算法。对二阶的哈密尔顿方程提出了低成本构建的二阶至五阶Runge-Kutta-Nyström(RKN)辛算法。低成本构建体现在为导出辛RKN算法的Butcher表系数，不需要求解这些系数满足的辛条件和阶条件等非线性方程，只需要依赖正交多项式展开系数即可；基于连续级思想提出了对称的辛RKN算法，保持自反哈密尔顿系统相流的辛性和自反性；利用Butcher级数理论中的简化阶条件和Legendre正交多项式展开技巧，系统研究了任意高阶的连续级辛RKN算法的构造理论；充分利用解析解的性态构造比经典中点公式计算精度高的保辛算法，数值求解具有周期解的非线性振子方程发现全局误差比经典的中点公式更小；基于精确离散线性方程的思想改进了经典的Störmer-Verlet算法，使得改进后的算法在全局误差，长时间保持Hamilton函数方面精度显著增加。研究成果进一步丰富了哈密尔顿系统保结构算法的构造理论，具有重要的理论价值。