自共轭与非自共轭微分算子及其谱的特性的研究

As is well known, the differential boundary value problems (or differential operators) are consisting of the differential equation which is defined in a certain domain and the boundary conditions. The spectrum of the operators is different under different boundary conditions. Hence, a detailed investigation and classification on the boundary conditions are very important; especially the canonical forms of the self-adjoint boundary conditions of a differential operator have their significances. There are complete results on the canonical forms of the self-adjoint boundary conditions of a second order Sturm-Liouville problem. However, there are no such results for higher order problems (including the boundary value problems with transmission conditions or eigenparameter-dependent boundary conditions). In this project, we will study the canonical forms and even the unified standard forms of the problems above mentioned and two interval differential operators. And in further, based on the above, we also investigate the dependence of the eigenvalues on the problems (include the boundary conditions, coefficient functions and end points). Moreover in this project, we will study the non-self-adjoint dissipative operators and show the properties and classification on the boundary conditions of higher order dissipative operators with transmission conditions or eigenparameter-dependent boundary conditions. In the end, we will continue to investigate the higher order differential boundary value problems with finite spectrum and the corresponding inverse spectral problems systematically. Through the studies of the above self-adjoint and non-self-adjoint problems the new characteristics of the spectrum are given.

通常的微分方程边值问题（也称微分算子）是由定义在一定区域上的微分方程以及边界条件所构成。在不同边界条件下其对应微分算子的谱也会有不同的性质，因此对边界条件进行详细的研究和分类非常有必要，尤其是微分算子自共轭边条件的标准型具有更重要的意义。目前，对二阶的Sturm-Liouville问题的自共轭边条件的标准型已经有了非常完备的结论。但是对更高阶的（包括带有转移条件的及含有谱参数边界条件的）微分算子的自共轭边条件的标准型还没有统一完善的结论。本课题拟给出上述问题及两区间上的微分算子的自共轭边条件的标准型及统一规范型。在此基础上，进一步研究其谱对问题本身（包括边条件，系数，端点）的依赖性。本课题还将对非自伴耗散的微分算子进行研究，给出带有转移条件或谱参数边条件下的高阶耗散算子的性质及导致算子耗散的边条件的分类。继续对具有有限谱的高阶边值问题进行更系统的研究。通过以上问题的研究给出谱的新特性。

本课题从事的关于微分算子谱理论的研究是一项基础研究。本课题主要围绕几类自共轭与非自共轭微分算子及其谱的特性展开研究。从影响微分算子及其谱的特性的几个主要因素:微分算式、定义域及边界条件入手分别考察了微分算子的自共轭边界条件的标准型、微分算子的特征值关于问题参数的依赖性、耗散的微分算子及其特性以及具有有限谱的微分方程边值问题及其相应反谱问题等进行系统研究。主要研究并给出了带有转移条件的四阶微分算子自共轭边界条件的统一规范型；带有转移条件的以及自共轭边界条件的标准型下四阶边值问题的特征值的依赖性；三阶耗散微分算子及其性质；导致四阶微分算子为耗散的边界条件的分类；时标上、带有分布势函数的以及带有转移条件或谱参数边界条件的高阶边值问题的有限谱及其矩阵表示；带有转移条件或谱参数边界条件的Atkinson类型Sturm-Liouville反谱问题以及四阶边值问题的反谱问题的结论。此外课题组还给出了四阶算子非实特征值的界；两区间上J-对称微分算子的自伴扩张；一类经典Sturm-Liouville反谱问题及逆结点问题；带有转移条件及耦合边界条件的Sturm-Liouville问题的特征值及特征函数的渐近公式等。课题组在上述问题上取得了一些新的拓展性的结果，不仅给出了相应的论证还结合一些数学算例说明结论。这些结论对深入研究自共轭与非自共轭微分算子的谱、两类问题之间的关系以及无穷问题的有穷逼近等都将起到重要的作用，为微分算子谱理论的发展起到重要的补充作用。课题研究成果使得具有有限谱的微分方程边值问题成为一个完整的研究体系奠定了扎实的基础。