有理曲面及其相关问题的研究

This project plans to study rational surfaces and some related problems, including: (1) root lattices in the Picard lattices of certain rational surfaces, principal bundles as well as their adjoint vector bundles and other representation bundles, and the counting of certain rational curves as well as its relation with theta series of root lattices; (2) period maps and moduli spaces of rational surfaces and the relation with certain principal bundles over degenerations and families of elliptic curves, the boundary components and the compactifications of these moduli spaces, and their relation with degenerations and singularities of rational surfaces. This study will unify and develop the deep work of Looijenga, Donagi, Friedman, Morgan, Witten, Allcock, Dolgachev, Kondo, Saito and so on. Moreover, this study will be helpful for understanding the duality between F theory and string theory in mathematical physics.

本申请项目主要研究有理曲面及其相关系列问题，具体包括：（1）有理曲面的Picard格的根格结构，有理曲面上的主丛及其伴随丛、表示丛，有理曲面上的有理曲线的计数及其与根格的theta级数的关系；（2）有理曲面的周期映射、模空间及其与椭圆曲线的退化乃至family上的主丛的关系，相关模空间的边界点、紧致化及其与有理曲面的退化和奇点的关系等相关系列问题。这一系列研究将综合考虑并拓展Looijenga, Donagi, Friedman, Morgan, Witten, Allcock, Dolgachev, Kondo，Saito等的深刻工作，并有助于理解数学物理中的F理论与弦理论之间的对偶性。

本项目研究有理曲面的相关问题，主要包括以下两方面。一是有理曲面的几何结构，比如有理曲面的模空间及其与椭圆曲线上的主G丛的模空间之间的关系。二是代数结构，包括其上的Cox环的结构，导出范畴的结构及其上的quiver的结构。. 这些研究内容有较为广泛的背景。几何及数学物理方面有Looijenga的关于有理曲面的模空间的研究以及最近Gross-Hacking-Keel等的进一步发展，Friedman-Morgan-Witten及Donagi等关于椭圆曲线（纤维化）上的向量丛与F-理论的研究等。代数及数论方面有Batyrev-Popov及Derenthal等关于Cox环和Manin猜想的系列研究，以及Rudakov, Bondal及Perling等关于有理曲面上的导出范畴及quiver等代数结构的研究等等。这些都凸显了有理曲面这一主题的研究意义。. 通过本项目的研究，我们得到了以下一些结果。关于有理曲面的代数结构方面，我们将Cox及Batyrev等的del Pezzo曲面的Cox环的概念和理论推广到了更广的ADE有理曲面上，得到了该类有理曲面的Cox环与其上的有理曲线的configurations之间的关系，并将其联系到齐次空间G/P及李群的基本表示，其中部分结果发表于《Comm. Ana. Geom. 2015》，部分结果正在由研究生整理投稿之中。关于有理曲面的几何结构方面，我们给出了具有非单分层李群（即G=B_n, C_n, F_4, 或G_2）结构的有理曲面（包含固定反典范曲线）的模空间与椭圆曲线上的主G丛的模空间之间的新同构，这一结果发表于《Pacific J. Math. 2013》。同时，我们将有理曲面与椭圆曲线及其上的向量丛（主丛）的模空间的研究深化推广到奇异反典范曲线上，并发现了这一研究与Looijenga猜想的关系（Looijenga猜想的部分情形最近被前述Gross-Hacking-Keel等证明），这一工作已完成尚在投稿之中（由于代数几何方面的论文审稿周期通常都较长，所以暂未发表）。