三维流形上的Heegaard分解及其在纽结理论中应用

如果一个紧致三维流形M是两个压缩体V和W沿正边界的并，则称M有一个Heegaard分解。Heegaard、 Moise及Haken证明了任意紧致可定向三维流形上都有一个Heegaard分解，因而关于三维流形上的Heegaard分解的研究，具有普遍的理论意义。所谓纽结的解结数就是将其变为平凡纽结所需的解结运算的最少次数。本项目将研究三维流形上的Heegaard分解及纽结的解结数，重点研究目标是：（1）三维流形上的不同Heegaard结构；（2）纽结连通和的解结数。

在三维流形的Heegaard分解理论方面完成如下研究成果：（1）证明了，对于的g>1及n>0, 有无限多个双曲闭三维流形其上存在距离为n、亏格为g的Heegaard分解，除非(g, n)=(2, 1)或(g, n)=(3,1)。（2）证明了距离至少为6的Heegaard分解的边界稳定化是不可稳定化的，这一工作结合美国学者Bachman的工作给出了Haken流形具有不同Heegaard结构的充分条件。（3）证明了距离至少为3的Heegaard分解的自融合积是不可稳定化的，这是最佳估计。在Heegaard分解在纽结理论的应用方面完成的成果如下：（1）给出了关于和纽结洞数方面的Morimoto-Moriah猜想的反例。（2）在和纽结的解结数的研究中取得了阶段性成果。