2-调和子流形的若干问题研究

In this project, we mainly study the Bangyen Chen's conjecture and the classification of non-minimal biharmonic submanifolds. The first part of this project focuses on the following problems in higher dimensional Riemannian space forms: investigating the necessary or sufficient conditions on the case of Chen's conjeccture be true in Euclidean space; studying the reduction of the codimension of biharmonic submanifolds and the classification of the non-minimal biharmonic submanifolds in sphere; investigating the sufficient conditions of biharmonic hupersurfaces in hyperbolic spaces be minimal ones, giving some model spaces of non-minimal ones and classfying them. The second part of this project focuses on the following problems in higher dimensional pseudo-Riemannian space forms: studying the possible existence interval of the constant mean curvature of biharmonic hypersurfaces in pseudo-Euclidean spaces, and classfying minimal or non-minimal on this interval; studying the existence and classification of biharmonic hypersurfaces with non-diagnonalizable shape operators in non-flat pseudo-Riemannian space forms. The problems including into this project are the key problems on the geometry of biharmonic submanifolds. The study of this project will play an important role on the settling of the Chen's conjecture, on the development and refinement of biharmonic submanifolds, and on the enriching and perfecting of the theory and applications of submanifolds.

本项目主要研究关于2-调和子流形的陈邦彦猜想及非极小2-调和子流形的分类. 项目第一部分关注高维黎曼空间形式中如下问题: 探索欧氏空间中陈邦彦猜想成立的充分条件或必要条件; 研究球空间中2-调和子流形的余维数约化及非极小2-调和子流形的分类; 寻找双曲空间中2-调和超曲面是极小的充分条件, 并给出非极小的一些模型空间, 拟进行分类. 项目第二部分关注高维伪黎曼空间形式中如下问题: 已证明伪欧氏空间中2-调和超曲面的平均曲率是常数, 我们将继续研究这个常数的存在范围, 以期在这个范围内进一步区分极小或非极小; 研究非平坦伪黎曼空间形式具有不可对角化形状算子的2-调和超曲面的存在性与分类问题. 本项目的研究问题是2-调和子流形几何中的几个核心问题, 对解决陈邦彦猜想、发展和细化2-调和子流形的分类、进一步丰富和完善子流形理论和应用等方面都具有非常重要的意义.

本项目主要研究关于2-调和子流形的陈邦彦猜想及非极小2-调和子流形的分类，得到了如下几个方面的重要结果。.1. 考虑Lorentz空间形式正常2-调和超曲面的分类，在假设超曲面的形状算子的极小多项式的阶数至多是两次的前提下，首先证明了此类超曲面的平均曲率是常数，进而完成了该类完全分类。该结果同时暗含着对Lorentz-Minkowski空间中的2-调和超曲面，若其形状算子的极小多项式的阶数至多是2，则它必是极小的。这是对陈邦彦猜想的部分肯定和推广。.2. 研究伪黎曼空间形式中具有最多两个不同主曲率的2-调和超曲面，首先证明了这类超曲面的平均曲率是常数，利用该结论进一步证明了三个空间形式中一类2-调和超曲面事实上是极小的。详言之这类超曲面分别是偶数维伪欧氏空间中的2-调和超曲面；偶数维de Sitter空间中负指标少1的2-调和超曲面；偶数维anti de Sitter空间具有相同负指标的2-调和超曲面。.3. 更一般地考虑5维伪黎曼空间形式中具有正常平均曲率向量场的超曲面，这时的主曲率有三种可能的情形：四个不同主曲率、三个不同主曲率、两个不同主曲率，还可能同时存在实和虚的情形，就各种可能的情形我们分别证明了相应的超曲面都具有常数平均曲率。虽然目前还未能弄清楚不同情形下平均曲率常数是否相同，但我们进一步已经得到了这些常数的估计范围。需要说明的是我们的结果已经去掉了对形状算子有可对角化的要求。.4. 研究非平凡2-调和超曲面的目标是要分类，已探索到的模型空间还是很稀少。随着项目进展发现与第一特征值有内在紧密联系，借助逆平均曲率流技巧，得到了第一特征值在演化流下成立一个有趣的单调性量，进而得到了该特征值的等周常数下界。这个结果有助于研究Wulff型，它在各向异性几何中扮演着类似于欧氏球面的作用。可以验证几个简单的Wulff型模型空间都是非平凡的2-调和超曲面，这为分类2-调和超曲面提供了丰富的模型空间，是项目的一个创新性进展。.项目的上述结果是对陈邦彦猜想的部分肯定和推进，其中关于非极小2-调和超曲面的分类结果是存在性方面目前国内外最好的结论，这些模型空间为后续研究提供了研究思路和方法。项目的实施完成系列学术论文20余篇，硕士学位论文11篇，博士学位论文4篇，培养并取得学位研究生15人。项目组成员3人获理学博士学位，1人出国访学一年。