关于顶点算子代数的表示和几何应用的研究

In this project, we will study representation theory and geometric property of vertex operator algebras. It mainly contains: give a geometric characterization of irreducible modules in the category O of admissible affine vertex operator algebras in terms of conformal blocks；study quasi-lisse property of affine vertex operator superalgebra D(2,1;a); study the representation theory of D(2,1;a), construct a correspondence between representations of D(2,1;a) and representations of the affine vertex operator algebra sl(2), and study the relationship between admissible representations and integrable representations of D(2,1;a). The study on these problems provides a geometric way to the study of vertex operator (super) algebras, enriches the representation theory of vertex operator (super) algebras, and has significant meaning in the study of the relationship between higher dimensional conformal field theory and vertex operator algebras.

本项目主要研究顶点算子代数的表示理论和几何性质。主要内容包括对admissible仿射顶点算子代数模范畴O中的不可约模用共形块做一个几何刻画；研究仿射顶点算子超代数D(2,1;a)的quasi-lisse性；研究D(2,1;a)的表示理论，建立D(2,1;a)的表示与仿射顶点算子代数sl(2)的表示之间的对应，并研究D(2,1;a)的admissible表示与可积表示之间的联系。这些问题的解决提供了从几何角度来研究顶点算子(超)代数的新思路，丰富了顶点算子(超)代数的表示理论，并对更好的理解高维共形场论和顶点算子代数之间的联系有重要意义。

本项目研究了李代数和顶点代数的结构及表示理论，主要研究了以下问题：1.给出fgc高维仿射李代数的不动点实现，推广了仿射Kac-Moody代数的相关结果；2.确定了扭的Heisenberg-Virasoro顶点算子代数的自同构群，证明了其扭模范畴与某一李代数限制模范畴等价；3.将q-差分算子代数实现为仿射李代数的协变代数，证明q-差分算子代数的限制模与仿射顶点代数的Z-等变phi-坐标拟模一一对应，并给出其不可约限制模的刻画和构造；4.研究了Gap-p Virasoro代数的限制模，证明其与某一顶点代数的扭模等价，给出Gap-p Virasoro代数不可约限制模的构造、刻画和一些具体例子；5.建立了(A,B,C,D型)三角李代数与仿射李代数和仿射顶点代数的联系，证明了在单位根的情况下三角李代数本质上为仿射Kac-Moody代数；6. 研究了扩张Heisenberg-Virasoro李代数的限制模及其对应的顶点代数；7.定义并研究了相对李代数层这个概念，对某些无穷维李代数的导子李代数做descent刻画。