A型高维仿射李代数的若干结构和表示的研究

高维仿射李代数是一类非常重要的李代数，受到国内外李代数专家和物理学家们的广泛关注，它的研究对于推进无限维李代数的内容具有重要意义。该项目旨在对A型的高维仿射李代数：TKK代数和由量子环面得到的高维仿射李代数进行研究，讨论它们的子代数（包括极大子代数和有限维子代数）、自同构群、导子（包括模上的导子），进而研究其对应的李双代数结构；同时考虑它们的表示，包括有限维不可约表示、顶点表示、Boson表示、Fermion表示和酉表示等。通过我们的工作，为解决一般的高维仿射李代数对应的李双代数问题作好铺垫，并为完整确定其有限维不可约表示的分类问题提供必要的支持，以达到丰富高维仿射李代数研究内容的目的。

本项目主要围绕TKK代数和由量子环面得到的A型高维仿射李代数的结构和表示问题展开研究，我们考虑如下的六个问题：一是这两类高维仿射李代数的极大子代数问题，我们研究了包含一个固定Cartan子代数的极大子代数的分类问题；二是对TKK代数对应的A型高维仿射李代数的自同构群进行研究，已经取得部分结果；三是这两类高维仿射李代数的有限维子代数和模上的导子问题，我们对国外早期的研究方法进行分析，从其有限维子代数入手作一些有益的探索；四是不可约表示方面，试图作出带有一些限定条件的部分分类结果；五是顶点表示方面，研究由量子环面得到的A型高维仿射李代数上的顶点表示；六是考察不同的虚Verma模结构。