序列的极大模式复杂度性质及其在分形中的应用

A sequence of low complexity is a sequence of entropy zero or with a slow growth rate of the numbers of the distinct factors as the length increases. The study of this kind of sequences is an active research field up to now. These sequences are closely related to fractals , and many well-known fractals can be created via embedding of these sequences into n-dimensional Euclidean spaces. Besides these sequences have important applications in many other fields such as dynamical system, combinatorics on words. A more and more interesting research topic is the study of how the properties of the sequences of low complexity affect the structures and properties of the corresponding fractal objects e.g. iterated function systems, dimensions, measures. The project is devoted to the study of a new complexity-maximal pattern complexity. We will characterize the sequences of low (pattern) complexity, and will study their properties and applications in fractal geometry. On the one hand, we study the uniform sets, super-stationary sets, and uniform complexities, and they provide powerful tools for the classifications of the sequences, and thus the corresponding fractals; On the other hand, we study the application of the maximal complexity, including in the study of sequence entropy as well as pattern recognition theory, and they will reflect the properties of the corresponding fractals. In particular, with the help of these research, we will study the fractal structures of the spectrums for the Schordinger operaters with sequences of low complexity as their potentials.

低复杂度序列是一类序列熵为零或是序列中因子个数增长缓慢的序列，一直是活跃的研究课题。低复杂度序列与分形有密切联系，我们所熟知的分形都可以通过这类序列在n维欧式空间的嵌入得到，此外这类序列在动力系统、词上的组合也有重要的应用。低复杂度序列的性质如何反映相应分形诸如迭代函数系、维数、测度等结构和性质一直是大家关心的问题。本项目着重研究一种新的复杂度--极大模式复杂度：我们将研究什么样的序列是低复杂度序列，这些序列的性质以及在分形几何中的应用。其中最核心的问题是刻画模式pattern sturmian序列。一方面研究它的一致集、超稳定集以及一致复杂度，这些特征是序列分类的有力工具，从而提供于分形分类的工具；另一方面研究排列复杂度及极大模式复杂度的应用，包括在序列熵中的应用和模式识别中的应用，这些性质将直接反映相应分形的性质，特别是利用所得结果，研究具有低复杂度序列势的薛定谔算子的谱的分形结构。

本项目主要研究符号动力系统的极大模式复杂度,排列复杂度及极大模式复杂度在分形几何中的应用，以及具有低复杂度序列势的薛定谔算子谱的结构。经过项目组全体成员四年的工作，获得了丰富的成果。共发表标注本项目资助的 SCI 论文17 篇, 核心1篇。所得部分结果发表在Journal of Statistical Physics ,Physica A等...本项目拟定了四个问题：一、极大模式复杂度；二、分形中的应用；三、代换序列的排列和排列复杂度；四、薛定谔算子谱的研究。 .对问题一，我们研究了具有最低极大模式复杂度的序列非周期序列：圆序列，Toplitz序列和稀疏序列谱的性质。 .对问题二，我们研究了：.（1）笛卡尔乘积集的维数，给出了集合与其笛卡尔乘积集的维数之间的关系； .（2）Moran集Hausdorff测度。我们得到了(n,c)-Moran集类中全体集合Hausdorff测度的上下确界；.（3）Moran集的重分形分。我们对其精确局部维数存在点的水平集进行重分形分析。并对下密度水平集进行了重分形分析，出现了很多有意义的结果。.（4）给出了Brown运动实现的第一个最好的函数。.（5）证明了在具有不同豪斯多夫维数的两类齐次莫朗集A，B存在一单边Holder连续的同胚映射。.对问题三，我们将广义Morse序列的各种复杂度结合起来统一研究并比较t它们之间的关系。.对问题四，我们研究了：.（1）Thue-Morse序列势的薛定谔算子谱性质研究。证明了迹轨道无界的谱能量点的存在性。.（2）倍周期序列势的薛定谔算子谱性质研究。证明倍周期序列势的谱也具有类似于Thue-Morse序列势谱的性质：对于任意耦合因子，其谱的Hausdorff维数都有正的下界。.此外进行了相关的研究：（1）给出随机数的西格玛判别法。（2）基于分形模型的复杂网络的研究以及随机微分方程的研究，我们得到一系列的成果。虽不在项目拟研究的问题中，但也是分形几何方面的一个应用。.综上所述，本项目所研究符号动力系统的极大模式复杂度以及在分形中的应用，及具有低复杂度序列势的薛定谔算子谱的结构都取得很好的成果。同时也丰富发展了动力系统理论，为进一步研究薛定谔算子以及分形网络等研究打下了坚实的基础。