分数阶偏微分方程有限元/有限体积法快速算法及可计算建模

扩散过程产生于自然科学、社会科学以及各种应用。人们发现了越来越多的扩散过程不满足经典扩散过程（布朗运动），不能使用二阶扩散方程为之建模。分数阶扩散方程和对流扩散方程数值方法会产生很密的或者满的系数矩阵，每个时间步需要N的立方阶计算量和N的平方阶存储量，N是未知量个数。对于实际三维问题，目前没有一个方法可以解决如此巨大的存储量和计算量瓶颈问题。分数阶微分方程数值计算是一个基础性问题。解决高维问题计算量和存储量问题，是本项研究的首要目标。已得到的新的算法的计算量只需要O(NlnN)次运算量和O(N)存储量!算例显示快速算法可以将CPU时间从两个月零八天改进为一个半小时。从数学上讲，分数阶微分算子的性质使得分析变得比整数阶问题更加复杂。因此，对分数阶微分方程进行严格的数学和数值分析是本项研究计划的第二个目标。对几个重要的复杂模型探讨基于分数阶微分方程的可计算建模是本项研究计划的第三个目标。

科学技术的各个领域发现了越来越多的反常扩散现象，分数阶（对流）扩散方程能够很好地表现某些反常扩散现象，吸引了各个领域的科学家的研究兴趣，成为目前国际工程界和应用数学界的热点研究领域。. 本项目研究限制其应用的两个基础性问题：(a) 计算量瓶颈：分数阶微积分算子的非局部性质导致其离散系统的系数矩阵是稠密（甚至满）矩阵。通常需要问题维数N的二次方阶的存储量和三次方阶的计算量。对于三维问题而言，即使现代超级计算机都无法解决需要如此巨大的内存储量和计算工作量的问题。(b) 分数阶问题的数学理论和数值分析：对于变系数分数阶微分方程的边值和初边值问题的适定性问题依然是一个未解决的问题。. 研究工作完成了预期目标，原创性工作包括两个方面：. (I) 发现了分数阶微积分离散系统导出的稠密或满矩阵乘法的快速计算的途径。提出了一系列快速算法，其共同特点是仅需O(N(logN)^2)阶计算工作量和O(N)阶内存存储量，使得高维分数阶微积分的计算成为可能，首次实现了三维分数阶微分方程边值问题的计算，为分数阶微积分的实际应用奠定了可计算基础。在此之前的所有文献中的数值试验均是一维模型或小规模的高维问题。. (II) 变系数分数阶微分方程边值问题的数学理论研究取得了突破进展，此前已有的理论研究工作均是针对常系数分数阶方程。对一维变扩散系数稳态守恒型分数阶扩散问题建立了适定性理论，为进一步研究高维问题和时间依赖问题的适定性理论打开了新的研究思路。. 具体成果如下：. (1) 二维和三维时间依赖空间分数阶扩散方程的快速有限差分方法；. (2) 稳态空间分数阶扩散方程的超快速预条件迭代方法；. (3) 空间分数阶扩散方程的分数阶第二及第三初边值问题的快速算法；. (4) 分数阶扩散方程Dirichlet边值问题保持精度的间接谱方法;. (5) 分数阶扩散方程的局部加密网格上的快速算法;. (6) 非局部扩散模型的快速算法;. (7) 变系数分数阶扩散方程Dirichlet问题的适定性；. (8) 非齐次空间分数阶扩散方程Dirichlet边值问题适定性和快速算法；. (9) 空间分数阶扩散方程纽曼边值问题适定性；. (10) 二氧化碳埋存问题中泄漏风险的不确定性量化分析(UQ)方法。