具有SMA约束的非光滑系统分岔和混沌控制问题的研究

By the theoretical analysis and numerical simulation, we study non-smooth bifurcation, and bifurcation control and chaos control of non-smooth systems with multiple interfaces, such as: dry friction or impact oscillators with shape memory alloy (SMA). First, we try to find some new non-smooth bifurcations such as bifurcations without parameter and the composition of some different bifurcations. After we design and modify piecewise linear, washout-filter, or straight-line stabilization controller, we will change the topological structure and bifurcation types of these nonlinear systems, delay bifurcation behavior in the original systems, bring about new conventional and non-smooth bifurcations, achieve the transformation between conventional and non-smooth bifurcations, and control chaotic motion to equilibrium point or periodic solution. The project not only makes the theory of non-smooth systems more perfect, but also promotes the application of non-smooth systems in engineering.

本项目以具有形状记忆合金(SMA)约束的干摩擦或碰撞振子等这些多个分界面的非光滑系统为研究对象，将光滑系统与非光滑系统的理论有效地结合，通过理论分析与数值模拟的方法研究非光滑分岔以及分岔和混沌的控制。主要内容如下：发现这些系统新的非光滑分岔的类型：无参数非光滑分岔或多个分岔的组合，设计或改进分段线性，washout-filter，或straight-line stabilization控制方式，改变原非线性系统的拓扑结构；改变各种分岔的类型；将原系统固有的各种分岔行为延迟；产生新的常规分岔或非光滑分岔；实现常规分岔和非光滑分岔类型的转迁；将混沌系统稳定到平衡点或周期解，获得所需要的动力学行为。本项目完善非光滑系统理论知识的同时，使非光滑动力学更直接联系工程应用。

非光滑系统广泛存在于我们的生活，自然和工程领域。分岔和混沌是非线性动力系统最基本的特征。本项目主要完成了某些非光滑系统分岔混沌及其控制的研究。对于一个逐段线性的电路系统，本项目修改了一个结构简单的线性控制器，该控制器是由两部分组成，并且理论上给出了将系统控制到平衡点，平衡流形，周期解的条件。对于修正的电路系统，本项目给出了Hopf分岔存在的条件和平衡点稳定的条件，进一步设计一个线性控制器，并且不改变平衡点，将系统的运动控制到了周期解或平衡点。对于一个弹性约束的碰撞系统，本项目首先理论上研究了该系统不可能存在完全位于碰撞区域的周期解，及其简单的擦边分岔存在条件。进一步通过数值模拟，发现了退化的内角点和外角点分岔，并且它们和倍周期分岔一起能够诱导混沌。这些内容的研究不仅促进了非光滑系统理论的研究，对于非光滑系统的应用也具有一定的指导作用。