分数量子力学中波动系统的奇异摄动和噪声影响

Fractional quantum mechanics is the newest knowledge to deal with the structure, interaction and evolution law of the micro-world, and is one of the most attracting fields in mathematical physics at present and in the future. This project will study the wave systems in fractional quantum mechanics: one is fractional stochastic Schrödinger equation in the nonrelativistic fractional quantum mechanics, another is fractional stochastic wave equation in the relativistic fractional quantum mechanics. Our main purpose is to analyze and quantify the singularity perturbation inducing by multi-scales and the stochastic influence introducing by noises. We first will establish the local well posedness of these systems. Using fractional psudo-energy method and stochastic analysis to solve the uniform boundedness and the tightness of the systems, we will explore the global existence. Using the commutator to overcome the singular integral introducing by fractional Laplacian operator, we will analyze the blowup in the finite time. Furthermore combining stochastic dynamical system theory with mutltiscale theory, we will investigate the invariant properties such as invariant manifold, invariant foliation etc., and research their geometric structure and characteristics. We finally will derive the limiting dynamical behavior, the approximating description and the quantifying analysis to express the macro behavior, final characteristics and effective dynamics of the systems.

分数量子力学是洞察微观物质结构、相互作用和运动规律的最新知识和学科，是当前和将来最具吸引力的数学物理研究领域之一。本项目研究分数量子力学中的波动系统: 一类是非相对论分数量子力学中的分数随机Schrödinger方程，一类是相对论分数量子力学中的分数随机波方程。旨在分析和量化系统中由多尺度引起的奇异摄动以及由噪声引起的随机影响。首先建立系统的局部适定性。将运用分数拟能量方法和随机分析解决系统在奇异摄动下和噪声影响下系统的一致有界和胎紧，探究系统的整体存在性。拟用交换算子处理由分数Laplace算子带来的奇异积分，分析系统在有限时间内的爆破性质。进而运用随机动力系统理论并结合多尺度理论，分析系统的不变流型、不变页理等不变性质，解析其几何结构和特征。最后分析奇异摄动和噪声影响下系统的极限动力学行为、有效近似刻画和定量分析。最终导出系统的宏观性态、获取系统的最终表征以及有效动力学行为。

对于非相对论分数量子力学中的分数随机Schrödinger方程（Ginzburg-Landau系统、Hartree方程）和相对论分数量子力学中的分数随机波方程进行了研究。针对分数阶Laplace算子和噪声对系统的影响进行了探索，分析了其特征。探讨摸索如何解决它们带来的困难。通过构造适当加权函数空间和某些分数阶算子技巧，我们克服了有界区域上分数阶Laplace算子带来的困难。运用胎紧来代替通常的紧性并结合到Prokhorov定理和Skorokhod定理，我们解决了噪声带来的收敛性问题。研究了系统解的适定性包括某些情形下全局存在，某些情形下爆破。获得了分界门槛条件和稳定性。证明了其鞅解的存在性、不变测度的存在性、稳态解的存在性及其精细刻画。特别研究了系统在奇异摄动和噪声干扰下的不变性质。考虑了退化噪声情形下系统的转移概率算子半群的不变测度的存在性和唯一性。讨论了刻画其几何结构的不变流形的存在性、有限维约化和Wong-Zakai近似。项目的执行和完成使得对分数量子力学中物质系统的认识、模拟和控制更清晰和准确，对微观物质世界和物理现象的理解、把握和诠释更全面和深入。在项目执行过程中，我们已发表研究论文29篇，其中13篇被SCI收录。同时，培养研究生16名。