Hom-李代数和范畴化在拓扑量子场论中的应用

Categorification is an active branch of modern mathematics. It plays an important role both in math and physics, especially in TQFT. There are two kinds of categorification, one is from J.C.Baez and another from S. Cautis etc. We will consider the categorification of hom-Heisenberg algebra and discuss its relation with the invariants of TQFT by using the representation theory of hom-Lie algebra. And also we will discuss the corresponding TQFT by constructing the representation of categorified hom-Heisenberg algebra. Moreover, we will consider the categorification of q-Witt algebra and discuss its relation with hom-Lie algebra.

范畴化是一种重要的研究手段，它与物理和代数紧密相连，尤其与拓扑量子场论有着十分密切的关系。我们考虑用两种范畴化方法（J.C.Baez的范畴化方法及S.Cautis等人的范畴化方法）对具体的hom-海森堡代数进行范畴化，并利用hom-李代数的表示理论来分析所得的范畴化后的结果，建立其与拓扑量子场论不变量理论的联系。进一步，我们还将构造这个2-范畴的表示理论并得到其对应的TQFT。此外，由于q-Witt代数对hom-李代数理论有重要意义，我们也考虑对q-Witt代数进行范畴化，并借助于范畴化后所得结果研究hom-李代数理论。

项目背景：内容涉及李代数的形变理论和拓扑量子场论，属于交叉研究领域。主要研究内容：(1)Hom-海森堡代数的范畴化；(2)W-代数限制在矩阵模型中的应用；(3)Hom-杨-巴斯特方程理论；(4)Hom-李代数在晶体融化模型中的应用；(5)Harry-Dym簇的reciprocal变换；(6)研究split型Courant代数胚的形变理论；(7)构造Der(Omega_A)在Omega(A; Aoplus TM)上的Atiyah class，其中A是李代数胚。(8)在共形代数上构造相容的ON-算子结构。重要结果：(1)利用Baez的范畴化方法构造了hom-海森堡代数的范畴化。分析了hom-李代数在范畴化中所起的作用。(2)按Baez的范畴化得到范畴化后的W-代数，正在把这种W-代数限制应用到复矩阵型的矩阵模型中。(3)建立了hom-杨-巴斯特方程理论。在三代数的理论框架下给出了hom-杨-巴斯特方程的一个解。(4)把hom-李代数应用到晶体融化模型中，并与物理中的Toda理论建立了联系。(5)我们找到了Harry-Dym簇由共轭本征函数诱导的reciprocal变换，并刻画了Lax算子、本征函数和共轭本征函数在该变换下如何变换；刻画了由本征函数诱导的reciprocal变换下共轭本征函数的如何变换。刻画了由本征函数和共轭本征函数诱导的reciprocal变换的连续作用。刻画了五种基本reciprocal变换之间的相互交换关系。(6)给出了split型Courant代数胚的形变理论，具体分析了零阶同调群到三阶同调群。(7)给出了Der(Omega_A)在Omega(A;E)上的联络，正在试图把Atiyah class的全部闭链找出来。(8)正在把Poisson-Nijenhuis结构做到共形代数或者共形双代数中，构造上面的ON-结构。