Kronheimer-Nakajima quiver 模空间与有理曲面

This project plans to study the geometric and algebraic properties of Kronheimer-Nakajima quiver moduli spaces associated with rational surfaces. More concretely, we shall: (1) determine the anti-self-dual vector bundles over rational surfaces with a configurations of (-2) curves of ADE-type, and study their relations with exceptional sequences of line bundles, tilting bundles and so on; (2) give the GIT constructions for the so-called Kronheimer-Nakajima's quiver varieties (i.e., quiver moduli spaces), by studying the related stability conditions. This project will uniformly consider the root lattice structures and the exceptional sequences structures on rational surfaces, together with quiver moduli spaces and so on. This study will develop the deep work of Kronheimer, Nakajima, Rudakov, Bridgeland, Orlov and so on.

本项目计划研究与有理曲面相关的的 Kronheimer-Nakajima quiver 模空间的几何及代数性质。具体包括：（1）确定并研究包含(-2)曲线的 ADE 型 configurations 的有理曲面上的反自对偶向量丛及其与线丛的 exceptional sequences、tilting bundles 等的关系；（2）确定 Kronheimer-Nakajima 的 quiver 模簇（即模空间）上的稳定性条件及其GIT构造。这一项目计划将有理曲面上的根格结构、exceptional sequences 及 quiver 模空间等综合起来研究，并将深化及拓展 Kronheimer, Nakajima, Rudakov, Bridgeland, Orlov等的深刻工作。

本项目计划研究有理曲面相关的代数结构和几何结构，包括: (i) 研究有理曲面上的ADE 型quiver、曲线的 configuration、主丛及其表示向量丛、例外序列及导出范畴等及其相互关系，并研究相关的模空间比如quiver 模簇、反典范圈上的向量丛的模空间等; (ii) 研究含有ADE奇点的有理曲面上的反自对偶向量丛及其模空间的构造与性质，与例外向量丛、tilting向量丛及导出范畴的关系等。我们得到了某类有理曲面上由上述ADE型quiver决定的拟小表示向量丛（以及非拟小表示的一些特殊情形）的刻画及其与多面体、Weyl群轨道、曲线的configurations等的关系，等等。还有其他一些研究进展还在进一步深化和完善之中。这一项目的研究与代数表示论、李理论及数学物理中的相关理论有一定的关系。