基于协方差矩阵自适应的分数阶微分流形正则化图像复原研究

To some extent, complex and varied image local structures will affect the accuracy of image restoration, which has become a challenging topic in recent years. In the classical regularized approach for image restoration, a single prior assumption for the regularization term. For complex images, the different feature regions with the same prior regularization constraint, the restoration results will deviate from the original image to a certain extent. To obtain clear and high quality images, in this project, we aim to solve the accurate representation of textures and folds in the process of image restoration. Firstly, we introduce the fractional differential operators into the image manifold, and then employ the regularization theory and method to explore the theory and algorithm of fractional differential manifold regularization. Secondly, we construct a pixel-by-pixel covariance matrix with a variety of clues to depict images of different regional characteristics, and then explore the adaptive mechanism, which is the structure significantly function with regard to covariance matrix eigenvalue as the regularization parameter. Finally, in the framework of image modeling for differential manifold, we merge the small blocks with the same or similar into large image blocks and then explore robust fast algorithms for merging classification and cross iteration. The development of this project not only broadens the scope of application of fractional calculus and enriches the fractional calculus theory for image processing, but also provides a new theoretical basis and method for the study of inverse problem.

图像复杂多异的局部结构在一定程度上会影响复原的准确性，成为近年来具有挑战性的课题。目前传统的正则化图像复原方法仅基于单一先验的假设，对于复杂的图像，对不同特征区域采用相同的先验假设进行正则化约束，复原结果在一定程度上会偏离原始图像。为获得清晰高质量的图像，本课题以解决图像复原过程中的纹理褶皱的精准表征为具体科学问题。首先在图像流形上融入分数阶微分算子，利用正则化理论与方法，探索分数阶微分流形正则化图像复原理论与算法；其次利用多种图像线索构造逐像素的协方差矩阵来刻画图像不同区域特征，探索以一个关于协方差矩阵特征值的结构显著性函数作为正则化参数的自适应机制；最后在微分流形图像建模框架下，将具有相同或相近的小图像块合并为大图像块，探索合并分类和交叉迭代的稳健快速算法。课题的开展不仅拓宽分数阶微积分图像处理的应用范围和丰富分数阶微积分图像处理理论，而且为图像反问题的研究提供新的理论基础和方法借鉴。

图像通常会受到光照不均、分布无规律的噪声污染、不明机制模糊以及成像系统硬件设备的限制等不可控外部因素影响。同时，图像是复杂的，包含非常丰富的局部结构特征，如曲线边缘、直线边缘、纹理、斜坡区域和平坦区域等，在图像复原、检测、超分辨率重构的过程中，保持这些结构特征是至关重要的。本项目主要研究了图像局部结构信息的有效表征方法，具体的研究内容和重要结果、关键数据及其科学意义包含如下：（1）针对一些图像边缘指示算子不能很好地区分图像边缘与斜坡区域，构造了基于分数阶差分曲率驱动的非线性分数阶扩散的图像超分辨率图像重构算法。引入了分数阶差分曲率作为图像边缘指示算子，同时将分数阶微积分引入各向异性扩散方程，形成二阶与四阶各向异性扩散方程的一个自然插值；以分数阶差分曲率为传导项，Laplacian核为控制函数，这样Laplacian核函数能更好地保留图像边缘。数值实验表明，该模型在有效提高峰值信噪比的同时得到了好的视觉效果，有效地区分图像边缘与斜坡区域，克服了阶梯效应和斑点效应。（2）针对具有较大弯曲度结构、角点区域和富含纹理的图像较难刻画等问题，研究了分数阶平均曲率驱动分数阶电报扩散方程的图像复原模型。首先将分数阶微分引入电报扩散方程，形成二阶电报扩散方程与四阶电报扩散方程的一个自然插值；然后把能表征更多图像局部结构信息的平均曲率推广到分数阶；然后把得到的分数阶平均曲率作为传导项；同时将Laplacian核作为控制函数，Laplacian核函数在高频区域的扩散速度是介于两个常用扩散模型的控制函数的速度之间，而在平坦区域的扩散速度是小于这两个常用扩散模型的控制函数的速度，这样得到新的扩散系数去控制新的分数阶电报扩散过程。数值实验表明，该模型在有效地区分图像边缘与斜坡区域，克服了阶梯效应和斑点效应，有效提高峰值信噪比的同时得到了好的视觉效果。总之，本项目研究提供的新的技术和方法，推动了分数阶微积分理论在图像处理领域中的发展，也丰富了图像反问题理论。