变分框架下Bose-Einstein方程组的若干研究

Variational method plays a key role in the study of elliptic equations. In this project, we aim to study four problems for Bose-Einstein systems with variational framework. The first one is the effect of potentials on the existence of solutions to Bose-Einstein systems. The second one is the Bose-Einstein systems with critical exponents. The third one is the effect of domains on the existence of solutions to Bose-Einstein systems. The fourth one is fractional Bose-Einstein systems. We will use Lyapunov-Schmidt reduction method, together with the local Pohozeav identities, to study the properties and the local uniqueness for solutions to the above four problems. It is well known that there are striking differences between systems and single equation due to the interaction of different components in the systems. Therefore, by studying Bose-Einstein systems, it will help us to reveal both the similarities and the differences between systems and single equations.

变分方法在椭圆型方程的研究中发挥着巨大的作用。本项目拟研究具有变分结构的四类Bose-Einstein方程组问题：第一类是权函数对Bose-Einstein方程组解的存在性的影响；第二类是含临界指标Bose-Einstein方程组问题；第三类是区域对Bose-Einstein方程组解的存在性的影响；第四类是分数阶Bose-Einstein方程组。我们拟采用Lyapunov-Schmidt约化方法，并结合局部Pohozaev恒等式研究这四类问题解的性态及解的局部唯一性。众所周知，方程组中分量之间的相互作用使其与单个方程区别很大。因此，对Bose-Einstein方程组的研究，有利于我们进一步揭示方程组与单个方程之间的共性和个性。

椭圆型偏微分方程能够描述物理中的一些现象。研究一些来源于物理模型中的椭圆型偏微分方程，有助于揭示物理学中的一些运动规律和物理现象。本项目不仅研究来源于物理学中的Bose-Einstein凝聚态模型解的存在性，还研究了来源于Levy稳定扩散过程中的分数阶模型以及量子物理中的Schrödinger-Poisson方程等非局部问题解的存在性、唯一性以及渐近性态。在本项目的支持下，在严树森教授的指导下，我们主要运用约化方法研究上述问题取得了一些有意义的结果。. 我们简单介绍一下本项目的一些代表性研究成果：1.我们研究了权函数的性态对Bose-Einstein凝聚态方程组解的影响。我们研究了权函数满足更弱的指数衰减和权函数在0与1之间且含有外源项的两类Bose-Einstein凝聚态型方程组多解的存在性，其结果发表在 Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A等杂志上；2.我们探讨了含有临界指标的分数阶方程和分数阶Bose-Einstein凝聚态系统多解的存在性以及渐近性态，其结果发表 J. Differential Equations等期刊上；3.我们研究含有非局部项的Schrödinger-Poisson方程和Kirchhoff方程等模型解的存在性、唯一性以及渐近性态，其结果发表在 Calc. Var. Partial Differential Equations、中国科学等杂志上。我们的研究成果也受到了国内外专家学者的广泛关注，如ADE主编Pucci教授等人在文章中公开表示关于含有非自治扰动项的Schrodinger系统的研究要参考我们的文章。. 此外，本项目培养了10名研究生，其中3名博士研究生。在项目执行期间，两位项目组成员晋升为副教授。