两类非线性Maxwell方程组的存在性与正则性研究

This program studies two types of nonlinear Maxwell systems, namely, the Hall Magnetohydrodynamic (Hall-MHD) system and thermoelectrical model. The Hall term in the Hall-MHD system is essential in understanding the problem of magnetic reconnection. Recently, the Hall-MHD system is a very hot topic. The thermoelectrical model is Maxwell system in a quasi-stationary electromagnetic field subject to the effect of Joule heating. In view of mathematics, both Hall-MHD system and thermoelectrical model are strongly coupled nonlinear Maxwell systems. We study existence and regularity of weak solutions with bounded magnetic fields to the steady Hall-MHD system, solvability of an inhomogeneous boundary value problem for steady Hall-MHD system, existence and regularity of weak solutions to a thermoelectric model. We intent to combine our knowledge of fixed point theory, a priori estimate, nonlinear analysis to study the properties of solutions to the steady state of these two systems. De Giorgi-Nash theory for the equations of Maxwell type, a new extension lemma, compactness result and regularity theory for weighted div-curl system are expected to be established to overcome the difficulties caused by the special nonlinear structure of these two systems.

本项目主要研究两类非线性Maxwell方程组：霍尔磁流体方程组和热电模型。霍尔磁流体方程组对于理解磁重联现象的发生有重要意义，是近年来偏微分方程领域中一个比较活跃的研究课题。热电模型是在电磁场理论中把焦耳效应考虑进去之后，研究磁场与温度之间相互影响的一个物理模型。在数学上，霍尔磁流体方程组中的霍尔项是含有磁场的二阶导数的二次非线性项，热电模型中也含有磁场的导数的二次非线性项。我们研究霍尔磁流体方程组磁场有界的弱解的存在性与正则性、稳态霍尔磁流体方程组的非齐次边值问题、热电模型弱解的存在性与正则性。我们拟综合运用不动点理论、先验估计和非线性分析等相关知识与技巧，研究上述两类方程组的稳态情形的相关性质。我们预期建立Maxwell型方程组的De Giorgi-Nash理论、一个新的延拓引理、加权div-curl系统的紧性结果和正则性理论，克服这两类方程组的特殊的非线性结构所带来的困难。

本项目主要研究两类非线性Maxwell方程组：霍尔磁流体方程组和热电模型。霍尔磁流体方程组是近年来偏微分方程领域中一个比较活跃的研究课题，它对于理解磁重联现象的发生有重要意义。热电模型是在电磁场理论中把焦耳效应考虑进去之后，研究磁场与温度之间相互影响的一个物理模型。在数学上，霍尔磁流体方程组中的霍尔项是含有磁场的二阶导数的非线性项。我们研究稳态霍尔磁流体方程组磁场有界的弱解的存在性与正则性、稳态磁流体方程组的非齐次边值问题。此外，我们还研究了Beltrami流的刘维尔型结果。我们综合运用不动点理论、先验估计和非线性分析等相关知识与技巧，研究上述方程组的稳态情形的相关性质。我们在椭圆型偏微分方程组的理论研究上取得了一定的进展，获得了一些具有理论意义的研究成果，丰富了磁流体力学的数学理论，并改进了部分已知的结论。具体说来，我们得到了如下三方面的结果：（1）在外力小的条件下，证明了霍尔磁流体方程组磁场有界的弱解的存在性；在磁场有界的条件下，证明了霍尔磁流体方程组的弱解的正则性。在外力小的条件下，还得到了霍尔磁流体方程组的弱解的唯一性。（2）证明了磁流体方程组在非齐次边值条件下弱解的存在性，其中我们对磁场的边值数据所提的条件是最佳的。（3）建立了Beltrami流的刘维尔型结果，其中我们所提的球环上的积分条件有本质性的弱化，因而改进了已有的结果。