推广的协变延拓结构理论及其应用

本项目研究如何将协变延拓结构理论推广到高维的情形，然后基于该理论深入分析和研究海森堡铁磁链模型，系统有效地构造其新的高维可积方程。在此过程中我们将对相应的可积方程的延拓结构基本方程，延拓代数，贝克隆变换等内容进行细致的研究。随着超弦理论的发展，超对称理论受到人们的普遍关注，我们将进一步把协变延拓结构理论推广到超对称的情况，即构造超协变延拓结构理论，以利于我们更好地研究和分析超对称可积系统。

协变延拓结构理论是研究（1+1）维可积非线性演化方程的重要方法，该理论不仅具有十分清晰的几何意义，而且便于给出所研究可积方程的Lax 表示以及贝克隆变换。本项目对协变延拓结构理论进行了深入研究。我们成功地将该理论推广到研究超对称及高维的非线性演化方程的情形，给出了相应的延拓结构的基本方程。我们然后基于该理论深入分析和研究了海森堡铁磁链模型。海森堡铁磁链模型表示的是经典连续的铁磁自旋系统的非线性动力学情况，是一个非常重要的可积系统。我们利用协变延拓结构理论成功地构造出一些（2+1）维高阶可积海森堡铁磁链方程，并通过几何等价性关系给出了相应的（2+1）维推广的非线性薛定谔方程。我们进一步研究了超海森堡铁磁链方程，利用超自旋变量的约束条件，我们构造出一些（2+1）维超海森堡铁磁链方程,并给出了与其规范等价的（2+1）维超非线性薛定谔方程。此外我们导出了这些（2+1）维超非线性薛定谔方程的贝克隆变换，基于贝克隆变换关系，我们给出了这些方程的精确解。对于可积方程，人们已经知道其与无穷维代数之间具有紧密的联系。但关于无穷维3-代数与可积方程之间的联系还尚未有研究报道。我们在Nambu力学的体系中首次建立了非色散的KdV方程族与无穷维3-代数之间的联系。由于在Nambu-Poisson方程中同时包含两个哈密顿量，这样将非色散的KdV方程族的哈密顿量代入Nambu-Poisson方程便可得到这些哈密顿量之间的固有关系，这种关系在哈密顿量力学体系中是无法看到的。我们发现非色散的KdV方程不仅有双哈密顿结构还具有双Nambu-Hamiltonian结构。