调和映射理论中的若干问题

This project mainly studies on the following three aspects. First, we will use the theory of harmonic mapping and the theory of topological degree to discuss Landau-Bloch type theorems and distortion theorems on solutions to some nonlinear elliptic PDEs. Second, we will apply the theory of operator algebras and the theory of PDEs to study univalence criteria of pluriharmonic mappings. The obtained results will improve the Clunie–Sheil construction of planar harmonic mappings. At last, we will apply majorants and functional analysis theory to investigate radius growth and moduli of continuity on some classes of complex-valued functions satisfying Heinz's nonlinear differential inequalities. The obtained results will generalize the corresponding results of Dyakonov.

本项目主要研究如下三个方面的内容：（1）利用调和映射理论和拓扑度原理来建立几类与调和映射相关的非线性椭圆偏微分方程解的Landau-Bloch型定理和偏差定理。（2）应用算子代数和偏微分方程理论来讨论多重调和映射的单叶性准则，所得结果将推广Clunie–Sheil的关于平面调和映射的单叶性准则。（3）运用majorant和泛函分析等方法来研究几类满足Heinz非线性微分不等式的复值函数族的径向增长问题和连续模问题，所得结果将推广Dyakonov于2004年发表在Adv. Math.上的相应结果。

国家自然科学基金青年项目《调和映射理论中的若干问题》（No. 11401184）按原计划圆满完成研究任务。主要工作如下： ① 回答了Girela 和Pelaez在文《Ann. Acad. Sci. Fenn. Math., 2004》中提出的一个公开问题对于某类偏微分方程的解也是成立的，所得结果发表在《Math. Z.》；② 深入地研究了调和映射的边界性态问题，并找到了刻画径向John圆的一些等价条件，所得结果发表在《J. Geom. Anal.》和《中国科学：数学》上；③ 建立了最佳的高阶和高维的调和Schwarz引理，并应用这些结果得到了一系列的径向增长定理、模偏差定理和覆盖定理等，所得结果发表在《数学学报(英文版)》、《Monatsh. Math.》、《Math. Scand.》、《Illinois J. Math.》等刊物上；④ 建立了具有有限映射长度的调和-拟共形映射的系数偏差定理和微分模的偏差定理，并给出了调和Lipschitz空间的等价刻画，所得结果发表在《Nonlinear Anal.》上。