约束非光滑非凸优化问题算法的理论研究与应用

本项目研究规模较大或结构较复杂以致无法给出可行域投影算子和精确罚函数的优化模型。在不需给出精确罚参数的情况下，基于罚函数法与投影法处理约束条件，应用光滑技巧克服目标函数与约束函数不可微的困难，构造可基于电路和MATLAB数值实现的微分方程连续算法，在无法构造有效的连续算法时，利用无约束光滑优化的经典算法与步长搜索理论构造有效的离散算法。应用非光滑分析，数值理论，Lyapunov方法和Kurdyka- ?ojasiewicz不等式分析所构造算法的收敛性及收敛速率。基于已有的光滑化技术，讨论新的光滑化技巧以扩大本项目所研究问题的应用领域，并将所构造的算法应用到分片光滑性医学图像恢复，矩阵条件数分析和经济平衡问题，讨论所构造的算法对一些实际问题的适用程度及运算效果。.本项目的研究不仅对优化问题数值算法的构造有重要意义；还将扩大优化问题在现实问题中的应用范畴，同时加深光滑化技巧在优化中的重要作用。

本项目以非光滑分析、最优化理论、Lyapunov方法为基础，从优化问题的迭代算法与动态算法的设计与分析入手，重点研究了以下方面的内容：（1）利用粘性正则项，分别研究了欧几里得空间与无穷维Hilbert空间中非光滑凸优化问题的动态算法设计；（2）基于光滑逼近理论，研究了欧几里得空间非光滑非凸但局部Lipschitz优化问题的动态算法建模与分析，其中，特别研究伪凸优化问题的动态算法设计；（3）基于光滑逼近理论、二次正则化方法、内点法，研究了欧几里得空间几类非Lipschitz优化问题的动态算法和迭代算法设计与分析，特别分析了迭代算法的最坏复杂性；（4）基于不动点理论，研究几类常用于求解优化问题微分包含系统的动力学性质。 . 本项目获得了以下有意义的结果：（1）建立了非自治系统求解一类约束非光滑凸优化问题的最优解，既克服了目前许多论文中对可行域的假设，又避免了罚参数的估计，且具有全局吸引性；（2）在Hilbert空间框架下，建立了非光滑凸优化问题的动态求解算法，在一定条件下，证明了轨道的强收敛性，改进了Opial引理；（3）对一类约束非Lipschitz优化问题构造动态算法求解其稳定点，并将其应用于盲源分离、图像恢复、变分选择等问题中；（4）分别对无约束和约束非Lipschitz优化问题，首次建立了具有最坏复杂性的迭代算法，且给出二阶内点算法，不仅提高了一阶算法的最坏复杂性且收敛于满足更强优化条件的稳定点；（5）对几类微分包含系统，建立其平衡点的存在性、唯一性、稳定性及其周期解的存在性理论，为优化算法设计提供了一定的技术支持。. 本项目的完成，一方面，丰富和发展了非光滑优化问题求解的理论与算法研究，另一方面，为优化问题在工程科学中的应用提供了理论支持。