耦合(Navier-)Stokes流的趋化模型研究

To model the biological chemotaxis of plankton in viscous incompressible fluid, biologists and applied mathematicians proposed a class of chemotaxis-fluid model with signal consumption and a class of chemotaxis-fluid model with signal production, and under certain conditions, obtained some important results on the well-posedness of solutions. In this project, we intend to study further these two types of chemotaxis-fluild models. First, we intend to construct an energy functional, not depending on the structural conditions between the chemotaxis sensitivity and the oxygen consumption rate, to obtain the global existence of solutions to the chemotaxis-Navier-Stokes system, and further analyze the asymptotic behavior and the decay rate, remove the restrained assumptions used in the related literatures, and obtain realistic results more meeting the biology background. Then, we intent to establish a particular energy functional to accurately evaluate the critical mass and the blowup rate, and analyze the effects of fluids on the blowup. Last, we try to use a new energy method and combine some properties of Stokes operator to study the well posedness of the Keller-Segel-Navier-Stokes system.

为了刻画浮游微生物在粘性不可压缩流体中的趋化性，生物学家和应用数学家们提出了一类具有信号消耗机制的趋化流体耦合模型和一类具有信号产生机制的趋化流体耦合模型，在一些较强的假设条件之下研究了模型解的适定性问题并得到了一些重要结果。本项目拟对这两类趋化流体耦合模型进行更深入的研究。首先，通过构造不依赖于趋化灵敏度和氧气消耗率的结构条件的能量型泛函的方法得到chemotaxis-Navier-Stokes模型的解的全局存在性，并进一步分析解的渐近行为和衰减速率，去掉现有文献中的相关约束条件，获得更符合相关生物背景的研究成果；然后，通过建立一种特殊的能量泛函精确估计Keller-Segel-Stokes模型的临界爆破质量和解的爆破速率，并分析流体对解的爆破性的影响；最后利用新的能量估计技术和Stokes算子的性质研究Keller-Segel-Navier-Stokes模型的适定性问题。

近年来，在生物学、化学、物理学以及经济学中都提出了大量反应、扩散、趋向性运动相互交叉融合的问题。描述这些问题的数学模型基本上都是具有交叉扩散的发展方程，特别是趋化方程（组）。因此，具有交叉扩散的发展方程特别是趋化方程具有广泛应用背景，但在其数学理论中存在大量亟待解决的问题。本项目致力于这类问题的深入研究并取得了一系列重要的研究进展。首先研究了二维和三维情形下耦合（Navier-）Stokes流的趋化模型，得到了模型经典解的全局存在性和一致有界性; 其次建立了具有非线性扩散的Keller-Segel-Navier-Stokes模型的全局弱解；此外，在具有Lotka–Volterra型竞争的趋化模型的适定性、具有非线性扩散和非线性信号产生机制及逻辑源的趋化模型的适定性、具有间接信号产生机制的趋化模型的适定性、具有交叉扩散的生物传输网络模型的适定性、长时间行为及零扩散极限等问题方面也取得了多项重要的数学理论研究成果，推动了相关学术前沿问题的探索与进展。