有限生成系的平坦覆盖与同调代数

S-系理论作为半群的一种表示与同调代数具有密切的联系，同调代数中模的覆盖问题是重要的研究内容之一，已有一定的研究历史并取得了丰富的研究成果。但与模论相比较，S-系的覆盖则是该领域的新问题。本项目主要研究有限生成系的平坦性覆盖，研究的重点是循环系及局部循环系的覆盖存在性及其判别方法。研究的主要内容包括循环系具有弱拉回平坦覆盖、平坦覆盖和弱平坦覆盖的条件，以及所有循环系具有某种平坦性覆盖的幺半群类。在研究循环系的平坦性覆盖的基础上，考虑局部循环系和具有重要结构的有限生成系的覆盖，所得结果将对目前的公开问题给出部分或完整的回答。

本项目主要研究有限生成系的平坦覆盖，研究方法与同调代数相联系。在过去的三年内，依照研究计划，我们取得了一些研究成果，主要包括以下3个方面：. 首先，给出了循环系有弱拉回平坦覆盖的判别准则，以及任意循环系有弱拉回平坦覆盖的充分必要条件，完成了项目计划中第一部分的主要研究任务。文献Mojgan Mahmoudi, James Renshaw, On covers of cyclic acts over monoids, Semigroup Forum 77, 325-338(2008)的出现，使得近年来S-系的覆盖的研究成为重要方向，作者在文章最后提了6个公开问题。我们回答了其中的两个公开问题。第一个公开问题：是否存在某个幺半群S和循环S-系A没有(P)-覆盖？我们给出了肯定的回答。另一个公开问题：强平坦覆盖是否唯一？我们给出了否定的回答。. 其次，定义了广义的条件(P)和强平坦性, 分别给出了循环系具有这两种广义覆盖的判别准则，以及任意循环系具有这两种广义覆盖的充分必要条件，推广了(P)-覆盖和强平坦覆盖的已有的研究成果。定义了主弱平坦性的一类推广，给出了所有(循环)S-系具有这种平坦性的幺半群刻画, 并解决了与此性质相关的全部同调分类问题，推广了主弱平坦性的全部主要结果。. 最后，获得了一些S-系理论和同调代数思想结合的结果：(1)研究了强W-Gorenstein模类，给出了这类模的特征刻画，研究了这类模的一些基本性质，推广了强Gorenstein平坦模的主要结果。特别是关于投射模，内射模的许多相关的经典研究成果均得到推广。(2) 证明了在GF-闭环上，所有模都有Gorenstein平坦覆盖。(3) 证明了在任意结合环R上，复形C是Gorenstein投射复形当且仅当每个层次上的模是Gorenstein投射模。讨论了关于Gorenstein内射和Gorenstein平坦复形的相应结果。(4) 给定模范畴中完全和遗传的余挠对(A, B), 证明了在复形范畴中诱导的余挠对都是完全的,也给出了一个上纤维化生成的模型结构,它可以看做投射模型结构的一个推广。(5) 若R和S是环, 给出了直积R×S是广义Hopfian环的一些充分条件. 给出了广义Hopfian模和弱余Hopfian模的等价刻画。